WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE bluee: Wykaż, że dla każdych dodatnich liczb rzeczywistych x,y,z,k prawdziwa jest nierówność √(x+z)(y+k)≥√xy+√zk.

bluee: Jeśli podniosę obustronnie do kwadratu to wszędzie będę miała wartość bezwględną

bluee: |(x+z)(y+k)|≥|xy|+2√xyzk+|zk|

bluee: ?

aniabb: są z założenia dodatnie

bluee: xk+zy≥−2√xyzk

bluee:

jc: Niby skąd się wezmą wartości bezwzględne? Po za tym i tak wszystko jest dodatnie.

bluee: To już wiem. (To, że wartości bezwzględne są nie potrzebne) Ale nie wiem co dalej...

jc: (xk+zy)/2 ≥ √xyzk, nierównośc pomiędzy średnimi (x+z)(y+k) = xy + zk + xk + zy ≥ xy + zk + 2 √xyzk = (√xy+√zk)² √(x+z)(y+k) ≥ √xy+√zk, pierwiastek jest rosnący

Adamm: xk+zy≥2√xyzk

bluee: Pierwiastek jest rosnący? Po podniesieniu do kwadratu: xy+xk+zy+zk≥xy+2√xyzk+zk

bluee: Po odjęciu stronami xy i zk zostaje xk+zy≥2√xyzk Tu utknęłam.

jc: 0 ≤ (√xk − √yz)² = xk + zy − 2√xyzk 2√xyzk ≤ xk + zy

bluee: No, tak! A ja doszukiwałam się nie wiadomo czego. Dzięki

jc: 0 ≤ a ≤ b ⇒ √a ≤ √b Implikacja jest równoważna łatwej do wykazania implikacji √a > √b ⇒ a > b √a > √b, √a > 0 √a√a > √a√b, po pomnożeniu przez √a √a√b ≥ √b√b, po pomnożeniu przez √b a > b

bluee: To na pewno było do mnie