granica ciagu liczbowego sql: Oblicz granicę ciągu (a_n) określonego wzorem:

	(2n−1)3*(3n+2)3
1) an =
	(4n+3)3*(2n−3)3

	5n+2−6n+3
2) an =
	5n+3+6n+2

	9n+1+3n
3) an =
	(6n−1)*(6n+1)

Mam do rozwiązania mnóstwo zadań z granic ciągu liczbowego. To są przykłady, które mi pozostały − na które zupełnie nie mam pomysłu. Czy mógłby ktoś przedstawić sposób rozwiązania?

Blee: Na te nie masz zupełnie pomysłu ? To jakie były te przykłady które zrobiłeś/aś Bo to są raczej 'standardowe' granice do policzenia. Jakbyś (jak twierdzisz) zrobił wcześniej ileś przykładów to na pewno miałbyś za sobą parę analogicznych i byś znał 'procedurę'

Blee: 3) lim a_n = 0 2) lim a_n = −6

	27
1) lim an =
	64

Maciess: 1)

(6n2+4n−3n−2)3		(6n2+n−2)3
	=
(8n2−12+6n−9)3		(8n2−6n−9)3

	6n2+4n−3n−2
=(		)3
	8n2−12+6n−9

	27
Z tego granica mi wyszła		Wolfram potwierdził
	64

sql: Blee: Dopiero zaczynam granice ciągu liczbowego. Zdaję sobie sprawę, że dla Was są to przykłady banalne, ale dla kogoś kto zna to pojęcie pierwszy dzień − niekoniecznie. Dlatego właśnie proszę o pomoc, krok po kroku... Maciess: czy naprawdę trzeba wymnażać całe to wyrażenie trzy razy? doszłam do tego samego i wydawało mi się dość dziwne, bo zazwyczaj wszystko ładnie się skracało − myślałam, że istnieje sposób na "obejście" tego

Maciess: sql, chyba tak ja tu nie widze innej metody. Może ktoś inny poda jakiś sprytniejszy sposób Sprobuje 2 i 3 policzyc, ale takich w szkole jeszcze nie miałem

Blee: oczywiście, że można to "obejść" zadania typu pierwszego, postępowanie: 1) sprawdzamy jaka jest najwyższa potęga w mianowniku (będzie to n³*n³ = n⁶) 2) dzielimy licznik i mianownik przez tą potęgę (czyli przez n⁶) 3) wszystko w liczniku i mianowniku co było niższej potęgi od teraz już nas nie interesuje (bo to wyrażenie dąży do 0) 4) I teraz ... jeżeli w liczniku także jest taka sama najwyższa potęga, to granicą będzie

	a
		gdzie a i b to współczynniki przy tych najwyższych potęgach
	b

5) jeżeli najwyższa potęga licznika jest większa (np. n⁷) to granicą jest +/−∞ (zależy jaki znak jest przy tejże najwyższej potędze) 6) jeżeli natomiast jest mniejsza to granicą będzie 0

Blee: wiedząc to od razu 'olałem te '−1' '+2' itd w nawiasach licznik: (2n)³*(3n)³ = 2³*3³n⁶ mianownik: (4n)³*(2n)³ = 4³*2³n⁶

	23*33		27
więc granica jest		=
	23*43		64

Blee: w granicach typu drugiego i trzeciego postępowanie jest bardzo podobne ale tutaj: 1) sprowadzamy wszystkie wyrażenia potęgowane do TEJ SAMEJ POTĘGI (przeważnie będzie to ⁿ, ale nie musi być) więc 5ⁿ⁺² = 25*5ⁿ ; −6ⁿ⁺³ = −6³*6ⁿ ; itd. 2) dzielimy licznik i mianownik przez to wyrażenie potęgowane, które ma największą podstawę (czyli w tym przypadku 6ⁿ) 3) wszystkie wyrażenia z mniejszą podstawą potęgowaną nas nie obchodzą

	a
4) jeżeli w liczniku było takie samo wyrażenie to granicą będzie
	b

punkt 5 i 6 ANALOGICZNIE

Blee: stąd (2) w liczniku będzie: 5²*5ⁿ − 6³*6ⁿ w mianowniku będzie: 5³*5ⁿ + 6²*6ⁿ największa podstawa to 6

	−63
więc granicą będzie		= −6
	62

Blee: (3) analogicznie tylko tutaj musisz jeszcze (najłatwiej Ci będzie, skoro zaczynasz dopiero) wymnożyć nawiasy

Blee: I moja droga − wybacz, ale nie mogę uwierzyć, że ileś tam przykładów już sama zrobiłaś bo na pewno musiałabyś mieć chociaż jeden przykład na wzór (1) bądź (2).

Blee: Maciess ... oczywiście że jest, opierając się na tw. o 3 ciągach 'likwidujesz' niższe potęgi, które nie mają wpływu na ostateczną wartość granicy

Maciess: Blee dzięki, świetny sposób

Maciess: cieżko mi sie opierać na twierdzeniu o którym jeszcze nie słyszałem

sql:

	25*5n
Nie rozumiem dlaczego np. w 2) wyrażenie		nas automatycznie nie interesuje...
	6n

sql: Nie wiem na ile poprawny jest ten sposób − teoretycznie wynik wyszedł mi dobry, ale czy mógłby ktoś mi powiedzieć czy to kwestia przypadku czy rzeczywiście jest to dobry sposób? Nie jestem pewna zupełnie...

	9n+1+3n
lim		=
	(6n−1)(6n+1)

	9n*9 + 3n
= lim		=
	62n−1

	1   9n(9+ n)   3
= lim		.
	36n   1   9n ( − )   9n   9n

	1		1
Teraz 9n mi się skraca.		dąży do zera;		także dąży do zera. Zatem:
	3n		9n

	9
= lim		=
	4n

	9   4n( )   4n
= lim		.
	4n

	9
Teraz 4n mi się skraca,		dąży do zera, zatem granica jest równa 0.
	4n

sql: ?

sql: ?

Blee: napisałem: 1) zamieniasz wszystko na tą samą potęgę w mianowniku masz ²ⁿ a w liczniku ⁿ 2) dzielisz przez największe wyrażenie z MIANOWNIKA

Blee: 6²ⁿ = (6²)ⁿ = 36ⁿ <−−− i przez to dzielisz

Blee: wynik masz dobry ... ale za długo i nie potrzebnie komplikujesz sobie robotę

jc: Tak, jak mówi Blee, licznik i mianownik dzielisz przez (6ⁿ)².

	9*4−n + 12−n
an =		→ 0
	1−36−n

sql: Okej, następnym razem postaram się tym Twoim sposobem. Dziękuję za pomoc.

jc: Dałbym 2 punkty na 5. Przejście do 3 linii (wygląda tak, jakbyś najpierw podzielił licznik i mianownik przez 9ⁿ, a potem znów pomnożył)? Potem jeszcze gorzej.