Ciąg artmertyczny Michał: Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których pierwiastkami równania x⁴−m(m+1)x²+9m²=0 są cztery kolejne wyrazy rosnącego ciągu arytmertycznego.

Blee: zaczynamy od podstawienia t = x² ; t >0 1) Δ_t > 0 Δ_t = m²(m+1)² − 36m² = m²( (m+1)² − 6²) = m²(m+1 − 6)(m+1+6) = = m²(m−5)(m+7) stąd mamy m∊(−∞; −7) u (5, +∞) 2) t₁*t₂ > 0 9m² > 0 no to nic tutaj nie mam z tego bo m≠0 3) t₁ + t₂ > 0 m(m+1) > 0 a stąd mamy już więcej, bo m∊(−∞; −1) u (0, +∞), ale to także nie ma wpływu na odpowiedź Więc już wiemy jaki musi był przedział m, aby były 4 RÓŻNE pierwiastki. Teraz patrzymy, kiedy będą tworzyć ciąg arytmetyczny: (x−a)(x−b)(x−c)(x−d) = x⁴ − x³(a+b+c+d) +x²(ab + ac + ad + bc + bd + cd) − x(abc + abd + bcd) + abcd skoro a,b,c,d mają być ciągiem arytmetycznym i wyszło nam, że a+b+c+d = 0

	2
to: a + (a+r) + (a+2r) + (a+3r) = 0 ⇔ 4a + 6r = 0 ⇔ r = −		a
	3

	1		1
więc mamy pierwiastki: a = a ; b =		a ; c = −		a ; d = −a
	3		3

czyli a = −d ; b = −c więc nasze równanie ma postać: (x−a)(x−b)(x+b)(x+a) = 0 ⇔ (x²−a²)(x²−b²) = 0 ⇔ x⁴ − x²(a² + b²) + a²b² = 0 więc:

	1		9
a2 +		a2 = m(m+1) ⇔ a2 =		m(m+1)
	9		10

1
	a4 = 9m2 ⇔ a4 = 81m2
9

czyli:

	9
(		m(m+1))2 = 81m2
	10

81		100
	m2(m+1)2 = 81m2 / *
100		81

m²[ (m+1)² − 100] = 0 czyli gdy m=0 (odpada ze wstępnym założeniem co do Δ_t) lub gdy (m+1)² = 100 ⇔ m+1 = +/− 10 ⇔ m = 9 lub m = −11 i jeszcze sprawdzamy czy to faktycznie będzie działać dla jednego i drugiego 'm'