Rozwiąż równanie Klaudia : 8x+10−x³−5x²=0

ite: warto pytać Woframa, zawsze chętnie odpowiada https://www.wolframalpha.com/input/?i=8x%2B10%E2%88%92x%5E3%E2%88%925x%5E2

Klaudia: Wolałabym jednak żeby ktoś mi to nieco wytłumaczył

ite: Roots − w tym miejscu sprawdzasz pierwiastki

annabb: I przycisk Exact forms jak chcesz dokładnie jak wychodzi z obliczeń

Mila: 8x+10−x³−5x²=0⇔ x³+5x²−8x−10=0 1) sprawdzasz czy są pierwiastki wymierne w(1)=1+5−8−10≠0 w(−1)=−1+5+8−10≠0 w(±2)≠0 w(±5)≠0 w(±10)≠0 Brak pierwiastków wymiernych. Pozostają wzory Cardano. Jesteś w LO?

Mariusz: −x³−5x²+8x+10=0 x³+5x²−8x−10=0 1 5 −8 −10 −5/3 1 10/3 −122/9 340/27 −5/3 1 5/3 −49/3 −5/3 1 0 −5/3 1

	5		49		5		340
(x+		)3−		(x+		)+		=0
	3		3		3		27

	5
y = x+
	3

	49		340
y3−		y+		=0
	3		27

Na poziomie licealnym chyba lepiej będzie użyć trygonometrii

	49		340
y3−		y=−
	3		27

cos(3x)=cos(x+2x)=cos(x)cos(2x)−sin(x)sin(2x) cos(2x)=cos(x+x)=cos(x)cos(x)−sin(x)sin(x) cos(2x)=cos²(x)−sin²(x)=cos²(x)−(1−cos²(x)) cos(2x)=2cos²(x)−1 sin(2x)=sin(x)cos(x)+cos(x)sin(x)=2sin(x)cos(x) cos(3x)=cos(x)(2cos²(x)−1)−sin(x)(2sin(x)cos(x)) cos(3x)=cos(x)(2cos²(x)−1)−2cos(x)sin²(x) cos(3x)=cos(x)(2cos²(x)−1)−2cos(x)(1−cos²(x)) cos(3x)=2cos³(x)−cos(x)−2cos(x)+2cos³(x) cos(3x)=4cos³(x)−3cos(x)

	49		340
y3−		y=−
	3		27

49   − u   3		3
	=−
u3		4

49   3		3
	=
u2		4

49		3
	=		u2
3		4

49	4
		=u2
3	3

196
	=u2
9

	14
y=		cos(θ)
	3

2744		49	14		340
	cos3(θ)−			cos(θ)=−
27		3	3		27

2744		686		340
	cos3(θ)−		cos(θ)=−
27		9		27

27		2744		686		340
	(		cos3(θ)−		cos(θ)=−		)
686		27		9		27

	170
4cos3(θ)−3cos(θ)=−
	343

	170
cos(3θ)=−
	343

	14		170   cos−1(− )   343
y1=		cos(		)
	3		3

	14		170   cos−1(− )+2π   343
y2=		cos(		)
	3		3

	14		170   cos−1(− )+4π   343
y3=		cos(		)
	3		3

	14		170   cos−1(− )   343		5
x1=		cos(		)−
	3		3		3

	14		170   cos−1(− )+2π   343		5
x2=		cos(		)−
	3		3		3

	14		170   cos−1(− )+4π   343		5
x3=		cos(		)−
	3		3		3

cos⁻¹(x) to funkcja odwrotna do cos(x) cos(cos⁻¹(x)) = x , x \in <0,π)

Mariusz: Mila to już trygonometrii i podstawowych wiadomości o funkcjach nie mają w LO ?

PW: Mariusz, jesteś hobbystą i podziwiam, że Ci się chce. Gwarantuję jednak, że żaden uczeń LO^*) nie przeprowadzi takich wyliczeń, bo po prostu nikt tego nie pokazuje i nie wymaga, I chwała Bogu, nie na tym polega nauczanie matematyki, żeby zadręczać wyliczeniami, od których puchną dłonie. Ty w liceum śmigałeś takie zadania do kolacji? ================= ^*)Może jest paru olimpijczyków, ale to nie są zwykli uczniowie LO

Mariusz: W liceum miałem wszystkie tematy potrzebne do rozwiązania takiego równania Jeśli chcemy ominąć zespolone to albo sprowadzamy to równanie do równania kwadratowego (wtedy przydają się wzory skróconego mnożenia, grupowanie , wzory Vieta) albo korzystamy z trygonometrii i podstawowych wiadomości o funkcjach aby ominąć zespolone które pojawiają się w metodzie algebraicznej w przypadku nieprzywiedlnym Zespolonych mogli już w liceum nie mieć

Mariusz: Sposób rozwiązywania takich równań można znaleźć u Sierpińskiego Monografie matematyczne tom 11 Wersję skróconą tj bez wyprowadzania można znaleźć w zbiorze Krysickiego i Włodarskiego Analiza Matematyczna w zadaniach