... Agata: Niech U i W będą podprzestrzeniami przestrzeni wektorowej V. Wówczas, jak wiadomo, U∩W jest podprzestrzenią przestrzeni V. Czy UUW też jest podprzestrzenią przestrzeni V?

jc: Wiadomo, że jeśli u, w ∊ U i k jest elementem ciała, to ku ∊ U i u+w ∊ U. Podobnie w przypadku W: jeśli u, w ∊ W i k jest elementem ciała, to ku ∊ W i u+w ∊ W. Zatem, jesli u, w ∊ U∩W, to u, w ∊ U i u, w ∊ W, a wtedy ku, u+w ∊ U i ku, u+w ∊ W, czyli ku, u+w ∊ U∩W, co oznacza, że U∩W jest podprzestrzenią.

jc: Suma jest podprzestrzenią tylko jeśli U ⊂ W lub odwrotnie. Załóżmy, że u ∊ U, v ∊ V ale nie należą do części wspólnej. Wtedy u+v nie należy ani do U, ani do V. Gdyby u+v ∊ U, to v = (u+v)−u ∊ U wbrew założeniu. Gdyby u+v ∊ V, to u = (u+v)−v ∊ V wbrew założeniu.

agata: dziekuje