WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE
bluee: Wykaż, że jeżeli x+y+z=0, to x3+y3+z3=3xyz.
23 mar 12:28
Blee:
x3 + y3 + z3 = (x+y+z)(x2 + y2 + z2 − xy − xz − yz) + 3xyz
23 mar 12:35
Blee:
wniosek
23 mar 12:35
bluee: x+y+z=0 czyli po drugiej stronie zostaje tylko 3xyz
23 mar 12:36
bluee: To wzór skróconego mnożenia
23 mar 12:37
Blee:
inny sposób:
(x+y+z)3 = x3 + y3 + z3 + 3x2y + 3x2z + 3xy2 + 3xz2 + 3y2z + 3yz2 + 6xyz =
= x3 + y3 + z3 + 3x2y + 3x2z + 3xy2 + 3xz2 + 3y2z + 3yz2 + 9xyz − 3xyz =
= x3 + y3 + z3 + 3(x2y + xy2 + xyz) + 3(x2z + xyz + xz2) + 3(xyz + y2z + yz2) −3xyz =
= x3 + y3 + z3 + 3xy(x+y+z) + 3xz(x+y+z) + 3yz(x+y+z) −3xyz
i wniosek
23 mar 12:40
PW: Inny sposób:
Znany jest wzór:
(x+y+z)3−(x3+y3+z3) = 3(x+y)(x+z)(y+z),
po zastosowaniu założenia
0 − (x3+y3+z3) = 3(x+y)(x+z)(y+z),
−3(−z)(−y)(−x)= x3+y3+z3,
co kończy dowód.
23 mar 12:41
Blee:
Szczerze mówiąc, to pierwszy sposób 'wychodziłem' ze wzoru skróconego mnożenia:
(a
3 + b
3) = (a+b)(a
2 − ab + b
2) i chciałem coś podobnego zrobić dla (a
3 + b
3 + c
3) i
tak narodziło się to co napisałem
(akurat się trafiło ślepej kurze
)
23 mar 12:41
PW: O, to już mamy trzy sposoby
23 mar 12:42
Blee:
PW, Twój taki 'dostojny', a moje to 'na chama' były trochę takie
23 mar 12:43
bluee: Dzięki Wielkie za wszystkie odpowiedzi.
23 mar 12:45
PW: Tylko kto pamięta taki wzór ...
. Mój Docent na wykładach mawiał:
− Kto nie wierzy niech liczy.
23 mar 12:46
bluee: Właśnie też, mam taki dylemat, w karcie wzorów na maturze są tylko podstawowe wzory skróconego
mnożenia, a przecież, nie sposób zapamiętać wszystkie wzory nieobowiązkowe !
23 mar 12:50
Blee:
o tyle dobrze, że (x+y+z)3 od biedy sobie wymnożysz robiąc ( (x+y) + z)3 i tutaj stosujesz
już wzór skróconego mnożenia, który masz na karcie (dwukrotnie)
23 mar 12:53