ciag jolka: Dany jest nieskonczony ciąg S={s₁,s₂,s₃,...} jes zdefinowany przez s₁=7 oraz s_n=7^s_n−1 dla każdego naturalnego n>1. Jaka jest reszta z dzielenia s₁₀₀ przez 5?

jc: Reszty z dzielenie przez 5 kolejnych potęg liczby 7 (począwszy od zerowej) 1, 2, 4, 3, 1, 2, 4, 3, 1, 2, 4, 3, ... Widzimy cykl o długości 4. Wystarczy więc, że będziemy wiedzieć, jaka jest reszta z dzielenia S₉₉ przez 4. Spójrzmy znów na kolejne reszty. 1, 3, 1, 3, ... s₉₈ jest nieparzysta, więc reszta z dzielenia s₉₉ przez 4 wynosi 3, a reszta z dzielenia s₁₀₀ przez 5 również wynosi 3.