wielomiany matlamp: Udowodnij, że jeżeli wielomian f(x) = ax³ + bx² + cx + d o współczynnikach całkowitych przyjmuje dla x = 0 i dla x = 1 wartości nieparzyste, to równanie nie ma pierwiastków całkowitych. Doszedłem do wniosku, że skoro z założenia wyraz wolny jest liczbą nieparzystą, to jeżeli szukami pierwiastków całkowitych to sa one dzielnikami wyrazu wolnego, czyli też musiałyby być nieparzyste, nie wiem jak udowodnić, że f(2k+1) jest różne 0.

Adamm: bo f(2k+1) ma taką samą parzystość jak f(1), czyli jest różny od 0

matlamp: a mógłbyś wytlumaczyć dlaczego tak jest? To z jakiegoś twierdzenia?

Adamm: pomyśl jakie jest (2k+1)³, (2k+1)², 2k+1 i jak to się ma do parzystości f(2k+1)

matlamp: te potęgi też są nieparzyste, a + b + c jest parzyste, więc a(2k+1)³ + b(2k+1)² + c(2k + 1) jest też parzyste, jak dodamy d, czyli nieparzystą, to f(2k+1) jest nieparzyste, dobrze myśle?

Adamm: wniosek że a(2k+1)³+b(2k+1)²+c(2k+1) jest parzyste jest nieuzasadniony chociaż tak, to prawda

Adamm: myślałem raczej o czymś takim f(2k+1)=a*(2m+1)+b*(2n+1)+c*(2k+1)+d= =2*(am+bn+ck)+a+b+c+d a to jako suma liczby parzystej i nieparzystej jest nieparzyste

matlamp: to sie bierze z tego, ze jeśli a + b + c jest parzyste, to znaczy ze kazdy ze składników jest parzysty, lub dwa są nieparzyste i jeden parzysty, w pierwszym przypadku jak bedziemy mnozyc kazdy ze składników przez liczbe nieparzystą to i tak dostaniemy sume liczb parzystych która jest parzysta, a w drugim przypadku po wymnazaniu otrzymamy znowu sume dwóch nieparzystych i jednej parzystej, a co daje nam liczbe parzystą, nie pokręciłem nic?

matlamp: OKej, twój sposób milion razy szybszy i prostszy, dzięki