Trygonometria PoZiomki: sin¹⁰⁰⁵ x+cos¹⁰⁰⁵ x=1

Mila: tak, jak: sin³x+cos³x=1

PoZiomki: Czyli co mam zrobić teraz z tą potęgą?

Adamm: sinx, cosx∊(−1, 1), to |sin¹⁰⁰⁵x+cos¹⁰⁰⁵x|≤|sin¹⁰⁰⁵x|+|cos¹⁰⁰⁵x|<sin²x+cos²x czyli rozwiązanie może być tylko dla sinx=±1 lub cosx=±1 czyli sinx=1 lub cosx=1

PoZiomki: Super dziękuję, a dlaczego jest tutaj wartość bezwzględna?

Adamm: w sumie to można bez wartości bezwzględnych, ale tak jakoś myślałem o liczbach dodatnich, więc nałożyłem

PoZiomki: Mam pytanie jeszcze, czy jakby zamiast potęgi 1005 byłaby inna to też to samo by obowiązywało?

PW: Tak, rozważania opierają się na stwierdzeniu, że dla |u|<1 i n>2 jest |u|ⁿ<|u|² (funkcja wykładnicza o podstawie mniejszej od 1 jest malejąca).

PoZiomki: Super, dziękuję wam bardzo! Czyli ta nierówność pochodzi od tego twierdzenia, tak?

Lolek: A jest możliwość wykazania tego bez funkcji wykładniczej?

Adamm: PW, to co napisałeś to nie do końca prawda

PW: No to tłumacz po swojemu.

Adamm: Nie trzeba się obrażać, zwróciłem ci uwagę na błąd. To co napisałeś jest ok, tylko jest jeden mały wyjątek od reguły.

PoZiomki: Więc, Adamm, wytłumaczyłbyś mi na swoim przykładzie to wszystko?

Rafałek: spokojnie mordeczki skupmy się na dokładnym przeanalizowaniu zadania oraz rozwiązanie go

PW: Ależ ja się nie obrażam. Jeżeli coś źle rozumiem, to wytłumacz, bo w tej chwili nie widzę

Adamm: |u|ⁿ<|u|² jest prawdziwa dla n>2, oraz 0<|u|<1 ten wyjątek to 0 w naszym zadaniu i tak dostajemy nierówność ostrą, bo nie może być tak że zarówno cosx jak i sinx są równe 0

Lolek: A dałoby się to zadanie wytłumaczyć na poziomie liceum?

PW: No dobrze, ale ja nie rozwiązywałem zadania o 20:32, tylko odpowiadałem na pytanie skąd się wzięło oszacowanie − czy zadziała dla innyych potęg niż 1005. Przecież pisząc o funkcji wykładniczej nie brałem pod uwagę u=0, z natury rzeczy.

Mila: |sinx|≤1 i |cosx|≤1 Jeżeli wartość sinx∊(−1,1)\{0} to wartość (sinx)¹⁰⁰⁵ jest bliska 0 podobnie jest z cosinusem.

	π
Jeżeli sinx=1 to cosx =0 i równanie jest spełnione dla x=		+2kπ
	2

Jeżeli cosx=1 to sinx=0 i równanie jest spełnione dla x=2kπ

Lolek: Dzięki! A dlaczego mamy tu moduły, a z dziedziny jest wyrzucone 0 ?

Mila: Nie wyrzucone, tylko rozważone w drugim przypadku.

Lolek: aaa okey dzięki bardzo

Krejzolka: Czy tylko dla sin i cos =1 i 0? A co jeżeli jedno z nich będzie 1/2 a drugie też 1/2? To też może dac 1.

Mila:

	1		1
sinx=		to cosx≠		sprawdź z jedynki trygonometrycznej.
	2		2

Adamm: zresztą, jeśli jedno będzie równe 1/2, i drugie też, to ich setna potęga będzie na pewno mniejsza, i całość będzie ściśle mniejsza od 1