nierówność słonik: Udowodnij, że dla dowolnych liczb nieujemnych a, b, c zachodzi nierówność: a√ab+b√ac+c√ab≤a²+b²+c² domyślam się że trzeba skorzystać z nierówności między średnimi ale nie mam pomysłu jak.. Pomógł by ktoś?

aniabb: a ten pierwszy pierwiastek to nie jest bc ?

Adamm: bez straty ogólności możemy założyć że √a≤√b≤√c wtedy √c⁴+√b⁴+√a⁴≥√a²√b√c+√b²√a√c+√c²√a√b z twierdzenia o ciągach jednomonotonicznych a to co mieliśmy wykazać

Słonik: Tak pierwszy to bc A da się to zrobić jakoś inaczej?

jolka: da się podstaw a=x²,b=y²,c=z² wtedy mamy xyz(x + y + z) ≤ x⁴ + y⁴ + z⁴ Umiesz udowodnić x² + y² + z² ≥ xy + yz + xz ? Korzystając z powyzszej nierówności x⁴ + y⁴ + z⁴ = (x²)² + (y²)² + (z²)² ≥ x²y² + y²z² + z²x² = (xy)² + (yz)² + (zx)² ≥ ≥ xy*yz + yz*zx + zx*xy = xyz(x + y + z)

jc: A tak można wykorzystać nierówność pomiędzy średnimi.

2a2+b2+c2
	≥ 4√a2a2b2c2=a√bc
4

Dodajesz trzy podobne nierówności i masz żądaną nierówność.

słonik: dziękuje bardzo

słonik: oba rozwiązania są świetne