WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
bluee: | | 1 | | 1 | | 1 | |
Wykaż, że jeżeli a,b,c są liczbami dodatnimi, to (a+b+c)( |
| + |
| + |
| )≥9. |
| | a | | b | | c | |
19 mar 15:54
Adamm:
czy możesz korzystać z jakiś narzędzi, na przykład nierówności między średnimi?
czy jakoś tak bardziej na poziomie liceum trzeba wykazać
19 mar 15:56
bluee: Na poziomie liceum
To zadanie z podstawy...
19 mar 15:58
jolka: (x−y)≥0
więc x2+y2≥2xy
Wymnóż nawiasy , dodaj ułami parami i skorzystaj z powyższego
19 mar 15:59
bluee: Liczę i liczę i nic mi się nie chcę skrócić. Próbowałam wymnożyć i sprowadzić do wspólnego
mianownika, a potem spróbować wzorów skróconego mnożenia, ale poległam.
19 mar 16:00
adam: wymnóż
19 mar 16:00
Adamm:
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=3+a/b+b/a+b/c+c/b+a/c+c/a
możesz łatwo pokazać że x+1/x≥2 dla dodatnich x
spróbuj
19 mar 16:00
19 mar 16:02
bluee: Nie wiem za bardzo co pełni rolę niewiadomej x.
19 mar 16:06
jolka: skąd ty masz poprzedni post?
19 mar 16:07
jolka: może tak a/b+b/a =(a2+b2)/ab≥2ab/ab
19 mar 16:09
jolka: tak samo zrób z tym b/c+c/b+a/c+c/a
19 mar 16:10
bluee: | a2+c2 | | a2+b2 | | c2+b2 | |
| + |
| + |
| ≥6 |
| ac | | ab | | bc | |
19 mar 16:14
bluee: Każdy ze składników sumy jest ≥2, czyli cała suma ≥6
19 mar 16:14
bluee: ?
19 mar 16:59
Mila:
| | a | | b | |
Korzystamy z własności : dla a, b>0 |
| + |
| ≥2 |
| | b | | a | |
Równość zachodzi dla a=b
| | 1 | | 1 | | 1 | |
L=(a+b+c)*( |
| + |
| + |
| )= |
| | a | | b | | c | |
| | a | | a | | b | | b | | c | | c | |
=1+ |
| + |
| + |
| +1+ |
| + |
| + |
| +1= |
| | b | | c | | a | | c | | a | | b | |
| | a | | b | | a | | c | | b | | c | |
=3+( |
| + |
| )+( |
| + |
| )+( |
| + |
| )≥3+2+2+2=9 |
| | b | | a | | c | | a | | c | | b | |
19 mar 20:31
iteRacj@:
skorzystaj z tego co napisał
Adamm o 16:00
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=3+a/b+b/a+b/c+c/b+a/c+c/a
| | a | | b | |
oraz jolka o 16:09 − dla dowolnych liczb dodatniach |
| + |
| ≥2 |
| | b | | a | |
| | a | | b | | b | | c | | a | | c | |
więc 3+ |
| + |
| + |
| + |
| + |
| + |
| = |
| | b | | a | | c | | b | | c | | a | |
| | a | | b | | b | | c | | a | | c | |
=3+( |
| + |
| )+( |
| + |
| )+( |
| + |
| )≥3+2+2+2 |
| | b | | a | | c | | b | | c | | a | |
19 mar 20:34
iteRacj@:
19 mar 20:34
aniabb: a może
wymnożyć
| | a | | a | | b | | b | | c | | c | |
3+ |
| + |
| + |
| + |
| + |
| + |
| ≥9 |
| | b | | c | | a | | c | | b | | a | |
pomnożyć przez abc (bo dodatnie )
a
2c+a
2b+b
2c+b
2a+c
2a+c
2b≥6abc
posortować
a
2c −2abc+b
2c+a
2b−2abc+c
2b+b
2a−2abc+c
2a≥0
c(a
2−2ab+b
2)+b(a
2−2ac+c
2)+a(b
2−2bc+c
2)≥0
c(a−b)
2+b(a−c)
2+a(b−c)
2≥0
iloczyn dodatnich jest dodatni
suma też
19 mar 22:32
bluee: Dziękuję za wszystkie odpowiedzi
20 mar 11:16