Czy podana funkcja jest różnowartościowa? Czy jest ”na”? Podaj dowód lub kontrpr Karol: f : R → R, f(x) = min{x, x²}, po rozrysowaniu jej, widzę, że jest różnowartościowa, jednak nie mam pomysłu na dowód. jak powinien on wyglądać? tak jak klasyczny dowód różnowartościowości?

Basia: f jest różnowartościowa ⇔ ∀{x₁,x₂∊D) [ f(x₁)=f(x₂) ⇔ x₁=x₂ ] klasycznie to tak: zakładamy, że f(x₁)=f(x₂) i pokazujemy że jest to prawdą ⇔ x₁=x₂

KarolB: znam definicję różnowartościowości, bardziej zastanawia mnie tylko, jak powinien dokładnie wyglądać sam dowód. muszę uwzględnić, że w przedziale (0,1) funkcja jest opisana innym wzorem?

Basia: dla x<0 min(x,x²) = x <0 dla x≥0 min(x,x²)≥0 y₁ = min(x₁,x₁²) y₂ = min(x₂;x₂²) y₁=y₂ ⇔ x₁ i x₂ mają ten sam znak ponadto dla x∊<0;1) min(x,x²) = x²<1 a dla x∊<1;+∞) min(x,x²) ≥1 y₁=y₂ ⇔ gdy x₁,x₂ obie należą do jednego z trzech przedziałów (−∞;0); <0;1) <1;+∞) x₁,x₂<0 y₁ = x₁ y₂ = x₂ y₁=y₂ ⇔ x₁=x₂ x₁,x₂∊<0,1) y₁ = x₁² y₂ = x₂² x₁² = x₂² i x_,x₂≥0 ⇔ x₁=x₂ x₁,x₂≥1 y₁=x₁ y₂=x₂ y₁ = y₂ ⇔ x₁=x₂ tak bym to rozpisała, żeby już całkiem sformalizować

KarolB: dzięki wielkie!