WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE bluee: Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistym a,b,c,d prawdziwa jest nierówność

	a2		c2		(a+c)2
		+		≥		.
	b		d		b+d

PW:

1		1		(1+1)2
	+		≥		− kontrprzykład
−3		4		−3+4

bluee: Sugerujesz, że nierówność jest nieprawdziwa?

Adamm: czy to dla ciebie wygląda jak sugestia ?!

bluee: Nie, nie wygląda jak sugestia. To raczej zaprzeczenie logiki w tym zadaniu. Czy zatem należy przeprowadzić dowód na nieprawdziwość tej nierówności? Jak miałby on wyglądać − nie wiem, jeszcze nie spotkałam się z zadaniem, w którym bym czemuś zaprzeczała, a nie czemuś dowodziła....

Adamm: chyba matma nie jest dla ciebie

Adamm: zaprzeczenie logiki − albo czegoś tutaj nie rozumiem, albo używasz po prostu wielkich słów dowód fałszywości tezy − przecież został podany przez PW

bluee: Chyba mnie nie rozumiesz

bluee: Chodzi mi o to, że to jakieś 10 zadanie z rzędu, które jest skopane. To znaczy nie da się go rozwiązać, albo inaczej nie da się go rozwiązać tak jak przewidywał autor. W poleceniu jest uzasadnij, że nierówność jest prawdziwa. PW w dwóch słowach wykazał, że nierówność nie jest prawdziwa, czyli zdania nie da rozwiązać, bo nie da się udowodnić, że nierówność jest prawdziwa.

Adamm: naprawdę? 10 pod rząd to prawdziwy pech

bluee: A tak poza tym to zadanie nie jest skopane tylko JA. Przepisując polecenie zgubiłam jedno (jakże istotne) słowo. Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych a,b,c,d prawdziwa jest

	a2		c2		(a+c)2
nierówność		+		≥
	b		d		b+d

bluee: No może nie pod rząd, ale w ciągu tygodnia

Adamm:

(a/c)2		(a/c+1)2
	+1≥
b/d		b/d+1

innymi słowy mamy udowodnić że

x2		(x+1)2
	+1≥		dla dowolnych x, y>0
y		y+1

x²(y+1)+y(y+1)≥(x+1)²y x²−2xy+y²≥0 (x−y)²≥0 − to już jest oczywiste przejścia były równoważne

bluee:

	a
a/c to dla Ciebie		?
	c

bluee: Jeśli tak, nie bardzo wiem jak osiągnąłeś pierwszą linijkę przedstawionego rozwiązania.

bluee: Sprowadziłeś do wspólnego mianownika lewą stronę i podzieliłeś obustronnie przez d?

Adamm:

	d
pomnożyłem obustronnie przez
	c2

bluee:

a2d
	+1 To wychodzi mi po lewej
bc2

Adamm:

a2d		a2/c2
	=
bc2		b/d

to to samo tylko inaczej zapisane

jc: funkcja x →x² jest wypukła. Zakładamy, ze b, d>0. Mamy

b

a

d

c

b

a

d

c

(

)2 +

(

)2 ≥ [

+

]2

b+d

b

b+d

d

b+d

b

b+d

d

Wystarczy teraz obie strony pomnożyć przez b+d.