Wykaż, że m i n to kwadraty liczb naturalnych. Tiffany: Wykaż, że jeżeli m i n to liczby naturalne względnie pierwsze, a ich iloczyn jest kwadratem liczby naturalnej, m i n także są kwadratami liczb naturalnych. Z góry dziękuję

Tiffany: ktoś może?

Adamm: p^2m+1|n to p^2m+1|n*m ale skoro n*m jest kwadratem, to musi mieć w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby o wykładnikach parzystych zatem p^2m+2|n*m skąd, ponieważ p nie dzieli m, mamy p^2m+2|n stąd, jeśli jakaś potęga liczby pierwszej dzieli n, to zawsze o wykładniku parzystym stąd możemy wnioskować że w rozkładzie na liczby pierwsze, n ma wykładniki parzyste czyli innymi słowy jest kwadratem liczby naturalnej

Adamm: albo inaczej, bo to może nie przekonywać n=p₁^α₁*...*p_n^α_n, m=q₁^β₁*...*q_k^β_k − rozkłady m i n na liczby pierwsze n*m=p₁^α₁*...*p_n^α_n*q₁^β₁*...*q_k^β_k skoro NWD(n, m)=1 to p₁, ..., p_n, q₁, ..., q_k są wszystkie różne, więc to rozkład m*n na czynniki pierwsze teraz skoro n*m jest kwadratem, to wszystkie potęgi α₁, ..., α_n, β₁, ..., β_k są parzyste n*m=b² gdzie b jest naturalne, b można rozłożyć na liczby pierwsze, jak podniesiemy b do potęgi to wszystkie wykładniki będą parzyste, dlatego b² ma w rozkładzie na liczby pierwsze wykładniki parzyste stąd już od razu mamy tezę, bo n=(p₁^α₁/2*...*p_n^α_n/2)², m=(q₁^β₁/2*...*q_k^β_k/2)²

Tiffany: Dzięki za odpowiedź, ale jeśli mogę zapytać czym tu jest liczba p⁽2m+1)?. I skąd wiesz, że n dzieli tę liczbę? I ostatnie pytanie, techniczne, rozumiem że m w wykładniku to ta liczba z iloczynu?

Tiffany: Ok, zapomnij mój ostatni komentarz − to drugie wytłumaczenie jest bardzo przejrzyste. Dzięki wielkie!