Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność mak: Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność: x⁴−4x³−2x²+12x+9≥0 Ze wzorów skróconego mnożenia na nic nie mogę wpaść, a z pochodną 4x³−12x²−4x+12 dalej nie wiem, co zrobić...

Mila: 1) Sprawdzam czy są pierwiastki całkowite. w(1)=1−4−2+12+9=16≠0 w(−1)=1+4−2−12+9=0 Schemat Hornera: 1 −4 −2 +12 9 x=−1 1 −5 3 9 0 ================ x⁴−4x³−2x²+12x+9=(x+1)*(x³−5x²+3x+9) P(x)=(x³−5x²+3x+9) P(1)=1−5+3+9≠0 P(−1)=−1−5−3+9=0 1 −5 3 9 x=−1 1 −6 9 0 ======== x⁴−4x³−2x²+12x+9=(x+1)²*(x²−6x+9)=(x+1)²*(x−3)² w(x)=(x+1)²*(x−3)²≥0 dla każdego x∊R

the foxi: A z pochodną: 4x³−12x²−4x+12=4x²(x−3)−4(x−3)=(4x²−4)(x−3)=4(x−1)(x+1)(x−3) czyli ekstrema dla f(x)=x⁴−4x³−2x²+12x+9≥0 to −1, 1 oraz 3 minima to x=−1 oraz x=3 liczymy wartości dla tych x: f(−1)=0 oraz f(3)=0 zatem to są najmniejsze wartości funkcji, więc każda wartość funkcji jest nieujemna, czyli nierówność jest spełniona

Bogdan: Pochodna f'(x) = 4x²(x − 3) − 4(x − 3) = 4x²(x − 3)(x − 1)(x + 1) Wyznaczamy minimum funkcji

Bogdan:

mak: Dziękuję!

the foxi:

Mariusz: W tym wielomianie można usunąć pierwiastki wielokrotne z wykorzystaniem pochodnej Jak chcesz z użyciem pochodnej to policz NWD(x⁴−4x³−2x²+12x+9,4x³−12x²−4x+12) biorąc reszty z kolejnych dzieleń