wyprowadzanie wzorów matfiz: Czy byłby ktoś w stanie wytłumaczyć mi wzór na procent składany K_n = K_o (1+p)ⁿ, korzystając z własności ciągu geometrycznego?

PW: No pewnie, ale jesteś pewien, że trzeba o to pytać?

	p		p
K1=K0+		K0=K0(1+		).
	100		100

Policz K₂

	p
K2=K1(1+		)=...
	100

matfiz: No okej, ale gdzie tu te własności ciągu geometrycznego? Mam wyprowadzić wzór korzystając z nich. Nie bardzo rozumiem w którym momencie jest to zrobione...

iteRacj@:

	p
K1 = Ko (1+		)1
	100

	p
K2 = Ko (1+		)2
	100

	p
K3 = Ko (1+		)3
	100

...

	p
Kn= Ko (1+		)n
	100

matfiz: Ale to cały czas podstawianie kolejnych n do wzoru... a chodzi o WYPROWADZENIE. Jak na podstawie własności ciągu geometrycznego wytłumaczyć ten wzór.

PW: Ale masz wymagania. Przecież z definicji − tak są naliczane odsetki w systemie "procentu składanego" −

	p
Kn+1=Kn(1+		).
	100

Masz stosunek wyrazu następnego do poprzedniego równy

	p
(1+		).
	100

Co tu "wyprowadzać"? Taka jest definicja procentu składanego. Tłumaczyliśmy raczej ideę takiego oprocentowania, a nie oczywistość, że ciąg K_n jest geometryczny. I proszę, nie mów DRUKOWANYMI LITERAMI.

ite: to nie jest tylko podstawianie kolejnych n do wzoru to jest tworzenie kolejnego wyrazu poprzez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz

	p
(1+		)
	100

matfiz: PW: Przepraszam najmocniej, jednak takie jest moje zadanie domowe, stąd też tak nalegam na jego zrealizowanie. Moim zdaniem to też uzasadnianie oczywistości, a polski system edukacji to kwestia pozostająca wiele do życzenia. Rozumiem czym jest procent składany, rozumiem, że ciąg jest geometryczny, tylko właśnie tego typu zadania − uzasadnianie oczywistości są najgorsze, dlatego też mam takie "wymagania". ite: Jeśli dobrze pamiętam to we wzorze ogólnym ciągu geometrycznego jest a₁ *qⁿ⁻¹. W

	p
takim razie skoro (1+		) jest stałym ilorazem q, w takim razie gdzie podziało się to
	100

n−1? A raczej samo "−1", bo potęga n występuje we wzorze na procent składany... Co o tym sądzisz?

matfiz: *pozostawiająca.

q: w procencie pierwszym wyrazem jest chwila wpłaty więc n−1=0 drugim wyrazem jest po doliczeniu odsetek po 1 roku więc 2−1=1 trzecim..po drugim roku więc 3−1=2 itd... dlatego nie widać −1

ite: a₁ − pierwszy wyraz ciągu to kwota K_o w momencie założenia lokaty np. maj 2016 − wtedy jeszcze nie jest oprocentowana a₂ − po roku (maj 2017) są po raz pierwszy dopisane odsetki a₂= a₁*q²⁻¹=K_o*q¹ a₃ − po roku maj 2018 będą po raz drugi dopisane odsetki a₃= a₁*q³⁻¹=K_o*q²

matfiz: Okej, przedstawię na lekcji ten sposób rozumowania. Mam nadzieję, że to będzie wystarczające "wyprowadzenie" Dziękuję Wam bardzo za pomoc. Życzę miłego dnia!

PW: No to jeszcze raz. Nie trzeba dowodzić, że ciąg K_n jest geometryczny i ma iloraz

	p
q=(1+		).
	100

Taka jest definicja oprocentowania "składanego" − do kapitału uskładanego w latach poprzednich dodaje się − po upływie roku − p% tego kapitału, czyli

	p
Km+1 = Km+		Km
	100

	p
Km+1 =Km(1+		).
	100

Kapitał uskładany po n latach wynosi zatem

	p
(1) Kn = K0 (1+		)n.
	100

Niepokoi, dlaczego jest n, a nie (n−1)? W przytoczonym wzorze a_n=a₁qⁿ⁻¹ mamy n−ty wyraz ciągu o początkowym wyrazie a₁. Wyraz a_n jest n−tym wyrazem ciągu, dlatego potęgą jest (n−1) W naszym wypadku numerację zaczęliśmy od 0, początkowy wyraz ciągu to K₀, a licząc K_n liczymy (n+1)−szy wyraz ciągu, dlatego wykładnikiem potęgi jest n (o jeden mniej niż numer wyrazu), Po to między innymi wypisywaliśmy te kolejne wyrazy − żeby zauważyć, że potęga jest równa wskaźnikowi wyrazu: K₁=K₀q¹, k₂=K₀q², K₃=K₀q³,... Wskaźnikowi, a nie numerowi, np. wyraz K₃ jest czwartym wyrazem ciągu, a więc ma q do potęgi o jeden mniejszej, czyli 3.

PW: Przepraszam przedmówców, ja tu dłubałem pieczołowicie swoje wyjaśnienie, gdy może nie trzeba było.

PW: ... a to wszystko nieudolne, można po prostu powiedzieć: K_n=K₁qⁿ⁻¹, bo taki wzór znamy, i podstawić K₁=K₀q: K_n=K₀^.q^.qⁿ⁻¹ = K₀qⁿ, uff.

matfiz: PW: Za to wyjaśnienie również bardzo dziękuję. Jesteście najlepsi i przywracacie wiarę w ludzi: jednak istnieją osoby, które potrafią bezinteresownie pomóc, samemu dodatkowo realizując się − bo jak przypuszczam − matematyka to Wasza pasja. DZIĘKUJĘ