zad adam: Udowodnij, że dla n>1 :

	1
(1+		)n>2
	n

Basia:

	1		n 0		n 1		n 2
(1+		)n =		1n*(1/n)0 +		*1n−1*(1/n)1 +		*1n−2(1/n)2 + ....
	n

n n−1		n n
	*11(1/n)n−1+		*10*(1/n)n =

	1		n 2		n n−1		n n
1+n*		+		*1n−2(1/n)2 + ....+		*11(1/n)n−1+		*10*(1/n)n =
	n

	n 2		n n−1		n n
2+		*1n−2(1/n)2 + ....+		*11(1/n)n−1+		*10*(1/n)n > 2

adam: nie rozumiem

Kamil:

	1
(1+		)n=e
	n

e≈2,7 2,7>2

Kamil:

	1
lim n−>∞ (1+		)n=e
	n

jc: Jeśli x>0 i n ≥2, to (1+x)ⁿ = 1+ nx + ... > 1+nx (opuszczone wyrazy są dodatnie). Podstawiamy x=1/n. (1+1/n)ⁿ > 1 +n/n = 2.

jc: Kamil, to że granica > 2 wskazuje tylko, że od pewnego n, wszystkie wyrazy ciągu są większe od 2. My mamy pokazać, że tak począwszy od n=2.

Kamil: czyli można indukcyjnie w ostateczności jak nic się nie zauważy?

Basia: @Kamil z tego wynika tylko i tylko to, że w dowolnie małym otoczeniu e mogę zamknąć "przwie wszystkie" wyrazy ciagu nie koniecznie wszystkie począwszy od drugiego @Adam dwumian Newtona

	n k
(a+b)n = ∑k=0,1,...,n		an−k*bk

	1		n k		1
S=(1+		)n = ∑k=0,1.,,,.n		*1n−k*(		)k
	n				n

pierwszy wyraz tej sumy to

n 0		1
	*1n−0*(		)0 = 1*1*1 = 1
		n

drugi to

n 1		1		1
	*1n−1*(		)1 = n*1*		= 1
		n		n

	n k		1
S = 1+1+ ∑k=2,,,,,n		*1n−k*(		)k =
			n

	n k		1
2+∑k=2,,,,,n		*1n−k*(		)k > 2
			n

	n k		1
bo ∑k=2,,,,,n		*1n−k*(		)k >0 (wszystkie wyrazy są dodatnie)
			n

Basia: @Kamil indukcyjnie będzie trudniej

Adamm: (1+1/n)ⁿ≥(1+1/2)²=9/4>2

Basia: no to najpierw trzeba udowodnić, że ten ciąg jest rosnący

Basia: To akurat jest łatwe

Adamm:

n

1

n(n−1)

1

n(n−1)...1

1

(1+1/n)n=1+

*

+

*

+...+

*

=

1

n

2

n2

n!

nn

	(1−1/n)		(1−1/n)(1−2/n)		(1−1/n)...(1−(n−1)/n)
=1+1+		+		+...+
	2		3!		n!

jak podstawić n+1 zamiast n, to wszystkie wyrażenia w sumie nam wzrosną, i dodatkowo dostaniemy jeden składnik dlatego jest rosnący

Basia: to też dwumian Newtona

jc: Można też z nierówności Bernouliego, ale w oryginalnej nierówności mamy x≥−1 i słabą nierówność.

Basia:

	1
x≥−1 nie problem;		≥−1
	n

niestety słabej nierówności nie pokonamy chyba stosując nierówność Bernouli'ego oczywiście

adam:

	1
równość b zachodziła kiedy		równało by się 0 a to niemożliwe
	n