najmniejsza wartość ułamka matlamp:

	x4 + x2 + 5
Znajdź najmniejszą wartość ułamka :
	(x2 +1)2

Blee: wskazówka: x⁴ + x² + 5 = (x²+1)² − x² + 4 = (x²+1)² − (x−2)(x+2)

matlamp: wyszło mi że najmniejsza wartość to 0, dobrze?

Blee: ojjjj nie ... dąży do 0, ale nigdy go nie osiągnie Zauważ, że licznik będzie zawsze liczbą dodatnią (>0)

Blee: tfu tfu tfu ... a w życiu nie dąży to do 0

Benny: x⁴+x²≥0 x⁴+x²+5≥5 najmniejsza wartość 5

Benny: ajajja źle

Blee: pochodna i szukamy minimum

jc: u = x²+1 ≥ 1

	√5
[(u−1)4+(u−1) + 5]/u = u−1+5/u=√5(U{u}{√5+		)−1≥2√5−1
	u

Wartość najmniejsza jest osiągana dla u=√5, czyli dla x=±√√5 − 1.

jc: Zabrakło klamerki.

	u		√5
... = √5(		+		) − 1 ≥ ...
	√5		u

jc: Oczywiście wartość najmniejsza to 2√5−1.

Blee: jc ... wolfi podpowiada że minmum osiągane dla x= +/−3 zresztą:

	2x(x2+1)2 − 2(x2−4)(x2+1)*(2x)
f' =
	(x2+1)4

licznik = 2x⁵ + 4x³ + 2x − 4x⁵ + 12x³ + 16x = −2x⁵ + 16x³ + 18x = 2x(−x⁴ + 8x² + 9) = = −2x(x²+9)(x²−1)) i mamy minima −> x = +/− 3

Blee: natomiast 2√5 − 1 > 3 ... a przecież lim_x−>∞ f(x) = 1

jc: Umknął mi kwadrat w mianowniku. Ale teraz wychodzę ...

Adamm: t=x²+1 x⁴+x²+5=t²−t+5

t2−t+5		1		5
	=1−		+
t2		t		t2

u=1/t 5u²−u+1 minimum dla u=1/10 ⇒ t=10 ⇒ x=±3