Pochodne 1234567: Jeśli pochodna funkcji ma wyłącznie jeden pierwiastek podwojny to funkcja nie będzie miała ekstremum, prawda?

Blee: prawda. Przykład f(x) = x³

1234567: Dzięki

Adamm: a xe^x jakie ma pierwiastki krotne?

Blee: f(x) = xe^x ma przecież jednokrotny pierwiastek f' = (x+1)e^x

Adamm: a x³e^x ?

Blee: f' = (x³ + 3x²)e^x = x²(x+3)e^x więc nie masz TYLKO dwukrotnego pierwiastka

Benny: (x³e^x)'=e^x*x³+3x²e^x=x²e^x(x+3), dwa pierwiastki, autor napisał wyłącznie jeden

Adamm: pytałem o krotność

Blee: to masz dwu i jednokrotny

Blee: https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3e%5Ex+from+-4+to+1

Adamm: x^3/2−1 a tutaj jakiej krotności mamy pierwiastki

Blee: a tu nie ma pierwiastka D_f = R₊

Adamm: hmmm... 1^3/2−1=0

Blee: pierwiastek POCHODNEJ

Adamm: to weźmy taką funkcję żeby to była pochodna, co za różnica

Blee: jest różnica jeżeli taka jest pochodna to pierwiastek jest jednokrotny

Adamm: ja bym powiedział że bardziej 3/2 krotny

Adamm: sin(x³)−1 jaka ta funkcja ma pierwiastki krotne

Adamm: *jakiej krotności

Blee: posiada nieskończenie wiele pierwiastków nieparzystej krotności

Adamm: a ta funkcja |x|

Blee: wracając do poprzedniego −−− pierwiastki parzystej krotności są

Blee: f(x) = |x| ma krotność nieparzystą ... jednak w tym przypadku f(x) będąc pochodną jakiejś funkcji F(x) nie posiada ANI JEDNEGO pierwiastka w swojej dziedzinie (pochodna w x=0 nie istnieje).

Adamm: f(x)=0 dla wymiernych, 1 dla niewymiernych jakiej krotności są tutaj pierwiastki

Blee: nie jest to funkcja ciągła

Adamm: no dobra f(x)=x² dla x<0, x dla x≥0 jakiej krotności są tutaj pierwiastki

Blee: funkcja ta (jako pochodna) nie ma pierwiastka −−− x=0 nie należy do dziedziny pochodnej (pochodna lewostronna ≠ pochodnej prawostronnej w punkcie)

Adamm: cały czas mówię o funkcji którą podałem, a nie jej pochodnej

Blee: ja też −−− ta funkcja JAKO POCHODNA (bo przecież ją traktujemy jako pochodną jakiejś tam punkcji pierwotnej) nie posiada pierwiastka, bo x=0 nie należy do jej dziedziny

Adamm: f(x)=x dla x≥0 0 należy do dziedziny

Blee: Adamm ... jeżeli ów f(x) mamy traktować jako pochodna jakiejś funkcji pierwotnej, to x=0 NIE MOŻE być w tym przypadku w dziedzinie. Nie są spełnione warunki.

Basia: Jeżeli pochodna ma tylko jeden pierwiastek podwójny funkcja ciągła raczej nie może mieć ekstremum. Pochodna musi być przecież postaci (x−x₀)²*(coś stale dodatnie lub stale ujemne) lub podobnej np. (e^x−1)²*(coś stale dodatnie lub stale ujemne). A poza wszystkim pojęcie krotności pierwiastków dotyczy przecież wielomianów. Od biedy można je rozszerzać, bo w sumie przez odpowiednie podstawienia można postać wielomianu uzyskać. Tylko jaki to ma sens? Blee są także funkcje ciągłe, które mają nieskończenie wiele miejsc zerowych np. f(x) = sin x tyle, że każde z tych miejsc zewrowym jest jednokrotne (o ile to pojęcie w ogóle ma tutaj sens, moim zdaniem nie ma)

Adam: f(x)=(1/2)x² dla x≥0, (1/3)x³ dla x<0 Tej funkcji jest pochodną