Nierówność Szyszka: Udowodnić nierówność:

	x2
cosx ≥ 1−		dla x∊R
	2

Proszę o jakieś wskazówki jak zacząć.

Basia: studia?

Szyszka: tak

Adamm:

	x2
możemy założyć że |x|<2, dla |x|≥2 mamy cosx≥−1≥1−
	2

cosx=1−x²/2!+x⁴/4!+...

x2n		x2n+2		x2n
	−		=		((2n+2)(2n+1)−x2)
(2n)!		(2n+2)!		(2n+2)!

(2n+2)(2n+1)−x²≥0 ⇔ √(2n+2)(2n+1)≥|x| ale √(2n+2)(2n+1)≥√(2*2+2)(2*2+1)=√30>2>|x| więc idąc po parzystych sumach częściowych szeregu, widzimy że dostaniemy granicę (cosx) dodatnią stąd nierówność

Adamm:

	x2
a raczej nie granicę cosx, tylko cosx−1+
	2

Szyszka: chyba nie bardzo rozumie, niestety... mam rozwinąć funkcję cosx w szereg?

	x2		x4
cosx= cosx−		cosx+		cosx
	2!		4!

i dalej piszę nierówność, że cosx≥−1

	x2		x4
cosx−		cosx+		cosx≥−1
	2!		4!

	x2		x4
cosx≥−1+		cosx+		cosx ?
	2!		4!

jc: sin²a ≤ a² cos 2a = 1−2 sin²a ≥ 1 − 2a² a=x/2 cos x ≥ 1 − x²/2