równanie logarytmiczne Loogen: Witam. Rozwiązujac takie rownanie wychodzi mi x=5 x=10 Jednak poprawna odpowiedzia jest tylko x=5.Nie wiem jakie założenie co do dziedziny ogranicza zbiór rozwiązań do tylko jednego rozwiazania.

log(√x−1+1)		1
	=
log(√x−1+7)		2

PW: Liczba 10 należy do dziedziny, ale nie jest rozwiazaniem − lewa strona dla x=10 jest równa

	log4		1
		=log4≠		.
	log10		2

Sprawdź rachunki.

Lech: Dla mianownika x ≠ 10 , bo wowczas mianownik = 0 , zawsze ustalaj dziedzine !

Lech: Sorry mianownik = 1

Eta: √x−1= t , t≥0 i x≥1 2log(t+1)=log(t+7) ⇒ (t+1)²=t+7 ⇒ t= 2 lub t= −3 −−− sprzeczność zatem √x−1=2 ⇒ x+1=4 ⇒ x=5 =======

Loogen: Po wymnozeniu na krzyz i "usunieciu" logarytmow wychodzi mi x+2√x−1=√x−1+7 x+√x−1−7=0 x−7=−√x−1 /()² Nie wiem czy do tej pory dobrze

Eta: Poprawiam zapis: x−1=4 ⇒ x=5

Loogen: Dzięki Eta,nie wpadlem na podstawienie z "t" aczkolwiek dalej sie zastanawiam gdzie jest błąd w moich metodach liczenia

PW: No właśnie o tym się mówi − podnosząc stronami do kwadratu wprowadzasz "obce pierwiastki" − liczby, które nie były rozwiazaniami, a po podnieieniu do kwadratu − są. Przykład x+1=5 ma jedno rozwiązanie. (x+1)²=5² ma dwa rozwiązania.

Loogen: Hm to w jakich przypadkach można podnieśc obustronnie do kwadratu ?

PW: Można, ale trzeba: − uczynić zastrzeżenie − tak jak zrobiła Eta − lepsze postępowanie, albo −sprawdzić na koniec, czy wyliczone liczby są rzeczywiście rozwiązaniami. Przy podnoszeniu do kwadratu mamy tylko wynikanie: a=b ⇒ a²=b² − równania nie są równoważne, a więc sprawdzenie "wyników" jest rzeczą obowiązkową, i nie ma w tym nic dziwnego, że niektóre "wyniki" nie są rozwiązaniami. Po prostu na koniec piszemy: Sprawdzdenie: (i podstawiamy otrzymane liczby komentując, które są rozwiązaniami, a które nie).