... Agata: Pokazac, ze dowolny wektor z R² jest kombinacja liniowa wektorow: a) (1,0), (0,1); b) (1,1), (1,0).

PW: Agata, to wstyd pytać o takie rzeczy. Z czym sobie nie radzisz − z wprowadzeniem oznaczeń dla dowolnego wektora, czy z zastosowaniem definicji liniowej kombinacji? Pytam poważnie, nie mam intencji prześmiewczych, mam co innego do roboty.

Agata: Z tym i z tym. Nie było mnie na tym, bo chorowałam, jasne?

PW: Dowolny wektor − wprowadzasz własne oznaczenia − to np. (w₁, w₂) Liniowa kombinacja wektorów (1,0) i (0, 1) to dowolny wektor równy x^.(1, 0)+y^.(0, 1) x i y są dowolnymi liczbami rzeczywistymi; jak się mnoży wektor przez liczbę − wiesz. Napisz teraz, w postaci równania, zdanie "dowolny wektor jest liniową kombinacją wektorów (1, 0) i (0, 1)".

agata: a) a=w1 b=w2 b) a=w2 b=w1−w2

PW: (1) (x, 0) +(0, y) = (w₁, w₂) (x, y) = (w₁, w₂) Równanie jest spełnione dla x=w₁ i y=w₂. Widać, że równanie (1) ma rozwiązanie dla każdego wektora (w₁, w₂), a więc jest on liniową kombinacją podanych wektorów.

Agata: Dziękuję.