podzielność liczby przez 6 matlamp: Udowodnij, że jeżeli liczby x, y, z są liczbami całkowitymi i liczba x + y + z jest podzielna przez 6, to liczba x³+ y³+ z³ jest również podzielna przez 6.

Basia: (x+y+z)³ = (x+y)³+3(x+y)²*z+3(x+y)*z²+z³ = x³+3x²y+3xy²+y³ + 3(x+y)²z+3(x+y)z²+z³ x³+y³+z³ = (x+y+z)³ − 3xy(x+y) −3(x+y)²z − 3(x+y)z² x³+y³+z³ = (x+y+z)³ − 3(x+y)(xy + xz + yz + z²) x³+y³+z³ = (x+y+z)³ − 3(x+y)[ x(y+z)+z(y+z)] x³+y³+z³ = (x+y+z)³ − 3(x+y)(y+z)(x+z) 6|(x+y+z) ⇒ 2|(x+y+z) ⇒ jedna z tych liczb jest parzysta lub wszystkie są parzyste jeżeli wszystkie są parzyste to ich sumy też są parzyste wtedy x³+y³+z³ = (6k)³ − 3*2n*2m*2p = 6³k³ − 6*4n*m*p jeżeli tylko jedna jest parzysta np.x to y i z są nieparzyste to y+z jest parzysta to x³+y³+z³ = 6³k³ −3(x+y)*2m*(x+z) = 6³k³−6(x+y)*m*(x+z)