Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu Alabaster: Suma n początkowych wyrazów ciągu (a_n) wyraża się wzorem S_n=5n+1. Wyznacz wzór na n−ty wyraz ciągu (a_n), dla n≥2. Bardzo proszę o pomoc.

Krzysiek60: a_n= S_n−S_n−1

annabb: a_n=5

Alabaster: No właśnie czegoś tu nie rozumiem. To zadanie miało jeszcze dwa inne podpunkty (oblicz a₁ oraz oblicz a₂ − wtedy jeszcze dla n należącego do naturalnych). Wyszło mi z tego, że a₁=6, a a₂=5. Różnica między tymi wyrazami wynosi −1. Nie mogę się zatem na tym oprzeć i napisać, że a_n=7−n? Co w zasadzie zmienia informacja, że liczę dla n≥2?

annabb: Bo to ciąg 6,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,.....

Alabaster: Aha, no tak... Ja sobie z góry założyłem, że to jest ciąg arytmetyczny. Dziękuję

Lech : A moze wzor na sume jest inny , sprawdz to , gdyby byl S_n = 5n² + n , bylby to ciag arytmetyczny , sprawdz to ! !

Alabaster: Sprawdziłem. Z pewnością wzór na sumę to S_n=5n+1

Mila: Jest w porządku, właśnie uczeń ma zauważyć , że to nie jest ciąg arytmetyczny. a₁ ≠5 Suma n początkowych wyrazów też się zgadza.

	5+5
Sn=a1+		*(n−1)=6+5*(n−1)=5n+1
	2

Basia: a całe nieporozumienie stąd, że a_n = S_n−S_n−1 dla n≥2 natomiast a₁=S₁

Alabaster: Próbuję zrozumieć Twoje obliczenia, ale nie wiem co jest co :< Z jakiego wzoru liczy się sumę dla ciągu, który nie jest ani geometryczny, ani arytmetyczny?

Alabaster: Tzn. chodzi mi o obliczenia Mili.

Basia: nie ma wzoru na sumę dowolnego ciągu natomiast jeżeli wiadomo, że suma jakiegoś ciągu jest opisana jakimś wzorem to S₁ = a₁ dla n≥2 S_n−S_n−1 = (a₁+a₂+....+a_n−1+a_n) − (a₁+a₂+....+a_n−1) = a_n

Basia: albo "na piechotę" a₁=S₁ = 5*1+1=6 S₂ = a₁+a₂ S₂ = 5*2+1 = 11 11 = 6+a₂ a₂=5 S₃ = a₁+a₂+a₃ S₃=5*3+1=16 16=6+5+a₃ a₃ = 5 i tak dalej; tyle, że policzenie a₅₈ na przykład, to wtedy robota głupiego

Alabaster: Tak, tylko nie wiem czemu Mila dodała dwie piątki i podzieliła je przez dwa Bo pomnożenie piątki przez ilość wszystkich wyrazów ciągu z wyjątkiem tego pierwszego i dodanie tego pierwszego (szóstki), rozumiem.

Basia: Ty tu masz ciąg: 6,5,5,5,5,......................... S_n = 6+5+5+....+5 = 6+suma (n−1) wyrazów ciągu stałego czyli arytmetycznego =

	5+5
6+		(n−1) = 6+5(n−1) = 6+5n−5 = 5n+1
	2

Basia: na to samo wychodzi; napisałam jak liczyła Mila

Alabaster: Ok, poukładałem to sobie w głowie, już rozumiem. Dziękuję bardzo

Mila: Alabaster, ze wzoru na S_n obliczyliśmy , że a_n=5 , jest to ciąg stały, niezależnie od wyboru n a_n=5 a₁=S₁=5*1+1=6 a₂=5, a₃=5 itd Suma n wyrazów to a₁+5+5+..+5 − tych "piątek " jest (n−1). 6+5*(n−1)=6+5n−5=5n+1 i to zgadza się z podanym wzorem na S_n. Tego nie trzeba było liczyć, ale myślałam, że łatwiej zrozumiesz na czym polega problem w tego typu zadaniach. Rozwiąż zadanie: Dany jest ciąg (a_n) , w którym suma n początkowych wyrazów wyraża się wzorem S_n = n² , n ≥ 1 . Wyznacz wzór ogólny ciągu. Czy jest to ciąg arytmetyczny?