(Pochodna, monotonicznosc) Dziedzina:

	2x
Wykazać, ze funkcja określona wzorem f(x)=2*arctgx + arcsin
	1+x2

jest stała na przedziale (1,+∞) i znaleźć jej wartość. rozwiązując to zadanie zacząłem od wyznaczenia dziedziny

	2x
D : x ∊ R i −1<=		<=1
	1+x2

Sumując powyższe rozwiązania wyszlo mi ze dziedzina to zbiór liczb rzeczywistych x∊R Aby funkcja była STAŁA f ' (x) = 0 Liczę pochodną

	2		1		2x
f ' (x) =		+		* (		)'=
	x2+1		(2x)2   √1−   (1+x2)2		1+x2

2		1		−2x2+2
	+		*		=
x2+1		(x2+1)2−4x2   √   x2+1		(1+x2)2

2		−2x2+2
	+		=
x2+1		(x2−2x+1)(x2+2x+1)   (1+x2)2*√   (1+x2)2

2		−2x+2
	+
x2+1		[(x−1)(x+1)]2   (1+x2)2*√   (1+x2)2

i tu się zaciąłem nie można znieść tego pierwiastka i potęgi bo wystarczy podstawić x = 0,5 to pod pierwiastkiem będzie < 0 dla x∊(−1,1) mamy pierwiastek mniejszy od 0. Z góry dzięki za pomoc

Dziedzina: Dobrze rozumiem, mogę opuścić pierwiastek bo sprawdzam tylko f ' (x) dla przedziału (1,+oo)

Dziedzina: Wyszło, ze f ' (x) = 0 stąd dla x∊(1,+oo) f(x) jest stała sprawdzam dla

	2*1		π		π
f(1)=2*arctg1+arcsin		=2*		+		=π
	1+12		4		2

, ale czy mogę podstawić f(1) skoro mamy przedział (1,+oo) ?

Adamm: możesz bo funkcja jest ciągła dla x=1

jc: x = tg a, π/4 < a < π/2 2x/(1+x²)= sin 2a = sin (π − 2a) 0 < π − 2a < π/2 mamy więc f(x) = 2 arctx x + arcsin 2x/(1+x²) = 2 a + (π−21) = π

jc: Oj, tam miało być ... = 2 a + (π−2a) = π

Adamm: funkcja jest stała lim_x→1⁺ f(x) = lim_x→1⁺ a = a ale ponieważ jest ciągła w 1, to = f(1) czyli f(x)=f(1)

Mila: √3>1

	2√3		π		√3
f(√3)=2arctg√3+arcsin		=2*		+arcsin
	1+3		3		2

	2π		π
f(√3)=		+		=π
	3		3