ciąg tikitaki: Wykazać, że ciąg a_n określony rekurencyjnie wzorami a₁ = √2 , a_n+1 =√ 2 + a_n jest rosnący i ograniczony z góry przez 2.

Blee: a_n+1 = √2 + a_n g = √2 + g g² = 2 + g g² − g − 2 = 0 (g−2)(g+1) = 0 czyli g=2 no to masz granicę, wykażemy teraz że a_n jest rosnący (co nie jest trudne) i wtedy g=2 staje się górnym ograniczeniem

Basia: najpierw pokażemy, że jest ograniczony z góry przez 2 można indukcyjnie n=1 a₁ = √2<2 Z_i: a_n<2 T_i: a_n+1<2 d−d: a_n+1=√2+a_n<√2+2=√4=2 i tyle

Basia: przypuśćmy, że nie jest rosnący istnieje wtedy n, dla którego a_n+1<a_n √2+a_n < a_n 2+a_n < a_n² (równoważne bo obie strony poprzedniej są dodatnie) a_n²−a_n−2>0 Δ=1−4*1*(−2) = 9 √Δ=3

	1−3
an =		= −1 niemożliwe bo wiemy, że an>1
	2

lub

	1+3
an=		=2 niemożliwe bo pokazaliśmy, że an<2
	2

czyli przypuszczenie prowadzi do sprzeczności ⇒ {a_n} jest rosnący