całka Mateusz:

	dx
∫
	(x(4−x))1/2

	dt
robie przez podstawienie i dochodze do −2∫
	(4−t2)1/2

Jerzy:

	dx
= ∫
	√−(x − 2)2 + 4

i teraz podstaw: t = x − 2

Jerzy: A kto usunął rozwiązanie Basi ?

Basia: źle przeczytałam (coraz częściej niestety się zdarza, dlatego skasowałam)

Basia: nie zauważyłam, że potęga 1/2 dotyczy też iksa

Mateusz: Bardzo dziekuje

Jerzy:

	dt
Do całki: ∫		zastosuj podstawienie: t = 2sin(u)
	√−t2 + 4

Jerzy:

	1
Wynik końcowy : = arcsin(		x −1) + C
	2

Mariusz:

	dx
∫
	(x(4−x))1/2

Trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem masz już rozłożony stąd pomysł aby podstawć √x(4−x)=xt x(4−x)=x²t² 4−x=xt² 4=x+xt² 4=x(1+t²)

	4
x=
	1+t2

	0*(1+t2)−4*2t
dx=		dt
	(1+t2)2

	8t
dx=−		dt
	(1+t2)2

	4t
xt=
	1+t2

	1+t2	8t
−∫			dt
	4t	(1+t2)2

	1
−2∫		dt
	1+t2

=−2arctan(t)+C₁

	1
=2arctan(		)+C
	t

	x
=2arctan(		)+C
	√x(4−x)

Można też policzyć sprowadzając trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem do postaci kanonicznej ale skoro miało być podstawienie

Mateusz: Ciekawe rozwiązanie, ja ostatecznie zrobiłem tak jak podpowiedział Jerzy, jednak nie zastosowałem podstawienia t=sin(u) Dziekuje wszystkim za pomoc

Mariusz: Jak masz całki postaci ∫R(x,√ax² + bx + c)dx gdzie R(x,y) jest funkcją wymierną dwóch zmiennych to rozważasz dwa przypadki 1. a > 0 W tym przypadku stosujesz podstawienie √ax² + bx + c=t − √ax Wyznaczasz z podstawienia x oraz pierwiastek jako funkcję zmiennej t Różniczkujesz funkcję x(t) względem zmiennej t i wstawiasz to wszystko do całki 2. a < 0 W tym przypadku zakładasz że b² − 4ac > 0 w przeciwnym razie trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem przyjmowałby tylko wartości ujemne Zapisujesz trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem w postaci iloczynowej i podstawiasz √a(x − x₁)(x − x₂)=(x − x₁)t i postępujesz analogicznie jak w przypadku gdy a > 0 Chociaż powyższe podstawienia wystarczą do sprowadzenia całek postaci ∫R(x,√ax² + bx + c)dx do całek z funkcji wymiernych to istnieje jeszcze jedno podstawienie które czasem daje całkę wymagającą mniej obliczeń √ax² + bx + c=xt + √c Stosujesz je gdy c > 0 Przy omawianiu całek z funkcyj wymiernych miałeś wydzielenie części wymiernej całki sposobem Ostrogradskiego ? Ten sposób Ostrogradskiego może być przydatny po zastosowaniu wyżej wymienionych podstawień