Wielomiany Michał: Dobry wieczór! Mam parę zadanek, prosiłbym o ich wytłumaczenie, najlepiej z zaprezentowanym rozwiązaniem (wtedy najszybciej łapie). Z góry dziękuję. Zadanie 1. Współczynnik wielomianu w(x)=x⁵+a₄x⁴+...+a₁x+a₀ są liczbami całkowitymi. Które z liczb −3, 0, 1 ,2, 5 nie mogą być pierwiastkami wielomianu w jeżeli: a₀=6 // zastanawiam się jak rozumieć te współczynniki bo przecież jak podstawię 6 do wielomianu pod a₀ pozostaje mi a₄, a₃... i nie wiem co się po nimi kryje zeby wyliczyć pierwiastki wielomianu . Zadanie 2 Rozwiąż równanie: 3x³−x²−x−1=0 //Nie do końca rozumiem co ludzie robią na internetach gdyż dzielą oni ten wielomina przez x−1. Czemu akurat przez to? Zastanawiam się jak podejść do tego równania bo niestety pamiętam rozwiązywanie tylko przy pomocy wyciągania wspólnego współczynnika przed nawias, którego tutaj brakuje chyba x²(3x−1)+(−x−1)=0 I to chyba tyle na ten moment, bo mam nadzieję że jak to zrozumię to ruszę reszte zadań Z góry dzięki za pomoc Pozdrawiam ciepło Michał <3

the foxi: 1. twierdzenie o pierwiastkach wymiernych mówi, że jeśli współczynniki wielomianu są całkowite,

	p
warto poszukać pierwiastków postaci		, gdzie p jest dzielnikiem a0, a q − dzielnikiem
	q

a_n (w tym przypadku, a₅, czyli 1} Dzielniki a₀=6 ⇒ ±1, ±2, ±3, ±6 Dzielniki a₅=1 ⇒ ±1 Czyli pierwiastkami mogą być ±1, ±2, ±3 oraz ±6. Oczywiście odpada 5. I jeszcze jedna kwestia. Zauważ, że x=0 nie jest pierwiastkiem − w(0)=0⁵+a₄*0⁴+a₃*0³...=w(0)=a+0. A u nas a₀=6, zatem w(0)=6. Czyli 0 nie jest pierwiastkiem.

PW: Zadanie 2.

	1
3x3−x2−x−1=3x3−3x2+2x2−x−1=3x2(x−1)+2(x−1)(x+		)=(x−1)(...)
	2

Trójmian rozkładasz używając wyróżnika albo widzisz to i po prostu piszesz − jeśli napisane dobrze, to nie można tego kwestionować.

xyz: zad2. dlaczego dziela przez (x−1) ? otoz dziela przez (x−1) poniewaz x=1 jest pierwastkiem tego rownania (rownanie wtedy = 0) podstawiajac za x=1, do rownania 3x³−x²−x−1=0 otrzymujesz 3*1³−1²−1−1 = 3 − 1 − 1 − 1 = 0 zatem to jest pierwiastek rownania, wiec teraz sa dwie drogi 1) podzielic przez dwumian (x−1) 2) pogrupowac odpowiednio wiedzac ze x=1 jest pierwiastkiem czyli na pewno powstanie nawias (x−1). co do dzielenia polecam nauczyc sie schematu hornera, jest naprawde prosty i szybki. a tym razem pogrupuje: 3x³−x²−x−1=0 aby powstalo x−1, to zamiast 3x³ − x² zrobie x³ − x² + 2x³ zatem x³−x² + 2x³ − x − 1 = 0 x²(x−1) + 2x³ − x − 1 = 0 teraz 2x³ − x rozpisuje jako x³ − x + x³, czyli otrzymuje x²(x−1) + x³−x + x³ − 1 = 0 x²(x−1) +x(x²−1) + x³ − 1 =0 no a x³ − 1 = (x−1)(x²+x+1), zatem x²(x−1) +x(x²−1) + (x−1)(x²+x+1) = 0 oczywiscie x²−1 = (x−1)(x+1), stad x²(x−1) +x(x−1)(x+1) + (x−1)(x²+x+1) = 0 i teraz wylaczamy (x−1) przed nawias (x−1)(x²+x(x+1) + (x²+x+1)) = 0 (x−1)(x²+x²+x+x²+x+1) = 0 (x−1)(3x²+2x+1) = 0

Michał: Ok w zadanie pierwsze, reszta przykładów mi wyszła gdy robiłem tak jak ty . Teraz pytanie czy dobrze rozumie... Jeśli wielomian ma współczynniki całkowite to dzielniki p i q mogą być tymi liczbami całkowitymi gdzie a₀=p i a_n=q? Dziękuję PW, faktycznie wychodzi wtedy, szkoda że trzeba w tym co mówisz to widzieć, bo słaby w tym jestem, no ale będę się starał! XYZ, w porządku dziękuję Masz rację schemat Hornera będzie dużo łatwiejszym rozwiązaniem, tym bardziej że Hornera, kiedyś umiałem wykonywać odświerzę sobie i będzie ok, tylko skąd ty wiesz że x=1 jest pierwiastkiem tego równania? Wiem że można podstawić i wychodzi ale co jak mam np 2x⁴+8x³+7x²−4x−4=0 ? No i skad ja mam widzieć co tutaj wyzeruje to równanie?

Michał: Współczynniki wielomianu w(x)=a₅x⁵+....a₁x+a₀ są liczbami całkowitymi. Które z liczb

	3		1		1		2		4
−		−		,		,		,		nie mogą być pierwiastkami wielomianu w, jeżeli
	4		2		3		3		3

a₀=4 a₅=4 To odnośnie pierwszego jeszcze, jak to tu będzie działać bo a₀=4 a₅=4 dzielniki 4 : 1 −1 −2 2 −4 4 :X Chyba... Czyli w sumie nic...

Michał: Ok jak by co już przypomniałem sobie jak działa schemat Hornera a także jak wyznaczyć pierwiastek równania wielomianowego. http://www.matmana6.pl/tablice_matematyczne/liceum/wielomiany/87-nierownosci_wielomianowe Z tej stronki, juz wszystko łapie, odnosnie zadania 2. (gdyby ktoś potrzebował) Proszę jednak o odpowiedź jak podejść do postu z godziny 21:55. Bo tutaj wciąż jestem w martwym punkcie.

Krzysiek60:

	1
Tylko −		moze byc pierwiastkkiem wielomianu reszta nie
	2

Michał: Oki, ale czemu Krzysiek ?

Basia: dzielniki a₅: ±1; ±2; ±4 dzielniki a₀: ±1; ±2; ±4

	dzielnik a5
i teraz bierzesz wszystkie możliwe ułamki postaci
	dzielnik a0

masz "kandydatów":

	1		1
±1; ±2; ±4; ±		; ±
	2		4

Michał: Ale czad... Super, dzięki Basiu (strasznie to proste teraz się wydaje)! Znowu mnie ratujesz, w sensie moją niewiedzę. Dziekuję Ci i wszystkim wcześniej zaangażowanym (PW, KRzysiek, xyz, the foxi) za uwagę i pomoc Bardzo doceniam i życzę dobrej nocy, ciao!

Basia: