Zadanie na dowodzenie norbi: Niech x i y będą nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, że x ≥ y. Wykaż, że zachodzi nierówność: x⁴+y⁴ ≥ 2xy³ Robię sobie zadanka na dowodzenie i przy tym utknąłem i nie mam pojęcia co zrobić dalej. Na razie mam coś takiego x⁴+y⁴ ≥ 2xy³ x⁴ − xy³ +y⁴ − xy³ ≥ 0 x(x³ − y³) + y³(y−x) ≥ 0

Basia: teraz rozłóż x³−y³ x³−y³ = (x−y)(x²+xy+y²) a y³(y−x) = −y³(x−y)

norbi: Dzięki już trochę zmęczony i zauważyłem tego wzoru. Doszedłem ostatecznie do czegoś takiego. (x−y)(x³+x²y+xy²−y³) ≥ 0 To rozłożyłem jeszcze tak (x−y)[x(x²+y²)+y(x−y)(x+y)] ≥ 0 Jako, że x , y są nieujemne oraz x ≥ y to x − y ≥ 0, a więc dla dowolnego x i y nierówność jest ≥ 0 Mógłby ktoś potwierdzić to rozwiązanie? Dzięki i pozdrawiam

PW: Nie lubię dowodzenia na zasadzie "wychodzenia od tezy". Nierówność można wykazać następująco: x⁴+y⁴≥2√x⁴y⁴=2√x²x²y⁴=2x√x²y⁴≥2x√y⁶=2xy³. Pierwsza nierówność jest zastosowaniem nierówności między średnią arytmetyczna a geometryczną, druga − skorzystaniem z założenia, że x≥y. Prymus nielubiany przez całą klasę doda, że pierwiastkując korzystał z nieujemności x i y.

norbi: Dość ciekawy sposób − o ile rozumiem tutaj zastosowanie zależności między średnią arytmetyczną, a geometryczną to nie rozumiem zbytnio co stało się w tym kroku: 2x√y⁶ Rozumiem, że x² zamienił się tutaj na y², co ostatecznie dało y⁶ − ale dlaczego tak?

PW: Wyjaśniłem już − skorzystaliśmy z założenia x≥y, a ponieważ mamy liczby nieujemne,to x²≥y².