Nieciągłość funkcji Emilka: Podaj przykład rosnącej funkcji w przedziale [0,1] która jest nieciągła dla x∊{1/n}^∞_n=2 Wytłumacz dlaczego można policzyć całkę z tej funkcji

Adamm: bo jest rosnąca

g: Odstęp między punktami nieciągłości 1/n a 1/(n+1) wynosi 1/[n(n+1)]. Jeśli wartość funkcji w tym przedziale będzie ≥ n+1 to całka z funkcji będzie rozbieżna.

Adamm: nie może tak być dla każdego n, bo byłoby f(1)≥n+1 dla każdego n

Emilka: Czyli taka funkcja spełnia ten warunek?

	⎧	x+1, x<1/2
f(x) =	⎩	x+1, x>1/2

Adam: Nie

Emilka: A mogę prosić o jakiś przykład?

jc: f(x)=1 dla x ∊ (1/2,1] f(x)=1/2 dla x∊ (1/3,1/2] f(x)=1/3 dla x ∊ (1/3, 1/4] .... f(0)=0

jc: Mała poprawka. f(x)=1 dla ∊ (1/2,1] f(x)=1/2 dla ∊ (1/3,1/2] f(x)=1/3 dla ∊ (1/4,1/3] .... f(0)=0

Emilka: nie rozumiem, w jaki sposób te funkcje są rosnące i nieciągłe?

jc: To jest jedna funkcja, tylko na poszczególnych przedziałach przyjmuje inne wartości. Narysuj sobie wykres dla x>1/5.

Emilka: Czyli jest to rosnąca i jedyna funkcja która spełnia ten warunek?

jc: Niby dlaczego? Funkcji spełniających warunki zadania jest ∞ wiele.