Jednakowo ciągła funckja Emilka: Czy te funkcje są jednakowo ciągłe i jak do tego dojść? (−∞,∞) a) f(x) = e^x2 b) g(x) = e^−x2

Blee: a jaką znasz definicję jednakowej ciągłości

Basia: Nie rozumiem treści zadania. Jak rozumiesz te podpunkty? O jednakowej ciąglości można mówić w przypadku rodziny funkcji (czyli przynajmniej dwie). https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Arzeli-Ascolego Chodzi o to czy f(x)=e^x2 i g(x)=e^−x2 są jednakowo ciągłe?

Emilka: Przepraszam, mam na myśli jednostajnie ciągła

Blee: o ile dobrze pamiętam to jednostajna ciągłość to taka której współczynnik kierunkowy stycznej nie dąży do nieskończoności Jeżeli dobrze kojarzę, to oczywiście pierwsza nie jest jednostajnie ciągła co do drugiej to trza się zastanowić, ale na 99.9% będzie ona jednostajnie ciągła.

Basia: może się mylę, ale wydaje mi się każda funkcja, która jest ciągła w całej swojej dziedzinie jest też jednostajnie ciągła

Basia: chyba, że coś źle rozumiem, albo Wiki coś źle "zapodaje" https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_jednostajnie_ci%C4%85g%C5%82a

Adamm: odwrotnie każda funkcja jednostajnie ciągła jest ciągła

Adamm: może powiedz po prostu gdzie ty to widzisz Basiu

Basia: Wiki podaje taką definicję: Niech I będzie przedziałem liczb rzeczywistych oraz niech f: I → ℂ. Funkcja f nazywana jest jednostajnie ciągłą gdy dla każdego ε > 0 istnieje takie δ > 0, że dla wszelkich x, y ∈ I zachodzi nierówność | f(y) − f(x) | < ε o ile tylko | y − x | < δ Czy ta definicja jest poprawna?

Adamm: jest poprawna

Blee: Tak ... jest poprawna

Blee: i ona mówi nie mniej niż to co napisałem −−− że 'przyrost' funkcji jest ograniczony czyli że styczna w punkcie nie będzie dążyć do x = x₀

Blee: więc np. y = ln |x+1| jest funkcją jednostajnie ciągłą, ale już f(x) = x² nią nie jest

Basia: Na dziedzinach zwartych to jest równoważne. Na R niekoniecznie.

Blee: po chwili zastanowienia się −−− to co napisałem to za mało Funkcja aby nie była jednostajnie ciągła nie może być ograniczona + to co napisałem o współczynniku pochodnej

Basia: to nie do Was, tylko do samej siebie

Emilka: Czyli jak to określić? Skoro mowa o przyroście to zakładam że trzeba obliczyć pochodną, i co dalej?

Adamm: weźmy dowolne ε>0, oraz dobierzmy do niego δ(ε)>0 mamy udowodnić, że jeśli wziąć jakiekolwiek 2 punkty z prostej, to będziemy mieli |x−y|<δ ⇒ |e^x2−e^y2|<ε skoro e^x2 − nieograniczona, to zawsze znajdziemy tak wielki x, że nierówność |e^x2−e^y2|<ε nie będzie zachodzić, nie ważne jaka δ funkcja nie jest jednostajnie ciągła ogólnie, żadna funkcja która nie jest ograniczona, nie może być ciągła jednostajnie

Adamm: to jest źle

Blee: Adamm ... nie prawda ... y = x nie jest ograniczona a jest jednostajnie ciągła y = ln |x+1| też nie jest ograniczona Tak naprawdę ... jeżeli funkcja jest wypukła (a może wklęsła −−− nigdy tego nie pamiętałem) dążąc do +/−∞ to nie będzie jednostajnie ciągła

Basia: Tu są dowody dla różnych funkcji. Można je wykorzystać. https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/Matematyka_1NI/Ciągłość_jednostajna?.

Basia: W zadaniu 7 masz udowodnione, że funkcja f(x)=e^x nie jest jednostajnie ciągła. Podobnie możesz pokazać, że f(x) = e^x2 nie jest jednostajnie ciągła

Adamm: |e^−x2−e^−y2|<5|x−y| na rysunku e^−x2−5x funkcja spełnia warunek Lipschitza

Adamm: a nawet, |e^−x2−e^−y2|<|x−y|

Adamm: kolejne przybliżenie, już ostatnie |e^−x2−e^−y2|≤√2/e|x−y|

Emilka: Czyli żadna z tych funkcji nie jest jednostajnie ciągła?

Adamm: funkcja spełnia warunek Lipschitza ⇒ jest jednostajnie ciągła

Adamm: wytłumaczyć ci jak do tego doszedłem?

Adamm: g(x)=f(x)−ax − taką funkcję rozpatrujemy, a>0 g'(x)=f'(x)−a − chcemy by g'(x)≤0 dla każdego x∊D w tym celu liczymy g''(x)=0 oraz granice w ±∞ z g'(x) w tych punktach g'(x) ma być ujemna możemy dobrać tak, żeby w jednym była = 0, by łatwiej wyznaczyć a takim sposobem g(x) będzie nierosnąca, czyli g(x)≤g(y) dla x≥y oraz g(x)>g(y) dla x<y czyli |f(x)−f(y)|≤a|x−y| czyli f spełnia warunek Lipschitza ze stałą a tutaj wyznaczyłem że a=√2/e