indukcja Kamil: Z pomocą indukcji matematycznej udowodnić, że następujące zależności zachodzą dla dowolnej liczby naturalnej n: 30|n⁵−n założenie n⁵−n=30t → n⁵=30t+n teza: (n+1)⁵−(n+1)=30t dowód L=n⁵+5n⁴+10n³+10n²+5n+1−(n+1)= =30t+n+5n⁴+10n³+10n²+5n+1−n−1= =30t+5n⁴+10n³+10n²+5n= =5(6t+n⁴+2n³+2n²+n)= =5(6t+n(n+1)(n²+n+1)) iloczyn dwóch kolejnych liczb jest liczbą parzystą, więc n(n+1) można zapisać jako 2z. =5(6t+2z(n²+n+1))= =10(3t+z(n²+n+1)) co dalej zrobić?

iteRacj@: podstaw n=2, potem n=3 i zobacz, że wynik nie jest ten sam czyli nie wynosi [p[za każdym razem]] 30t to są inne wielokrotności 30

Kamil: dla n=2 32−2=30*1 dla n=3 243−3=30*8 czyli co to zmienia?

Kamil: wiem, że w tezie zamiast t powinna być inna literka, ale w rachowaniu to nie ma znaczenia

iteRacj@: mój sposób jest za długi, na pewno ktoś znajdzie krótszy, ale wpiszę go 30t+5n⁴+10n³+10n²+5n=30t+5n(n+1)(n²+n+1) teraz trzeba pokazać że 5n(n+1)(n²+n+1) jest wielokrotnością 30 n lub n+1 jest parzyste, zostaje pokazać że któryś z czynników jest wielokrotnością 3 jeśli 3|n to kończy dowód jeśli nie jest prawdą 3|n to n=3k+1, k∊C wtedy n²+n+1=(3k+1)²+3k+1+1=9k²+6k+3 jest wielokrotnością 3 lub n=3k+2, k∊C wtedy n+1=3k+2+1 i 3|(n+1)

Kamil: dlaczego k należy do zespolonych? pewnie miałeś na myśli całkowite

iteRacj@: tak oczywiście całkowite, "szkolne" całkowite

Kamil: a dlaczego wielokrotnością trójki? nie powinno być wielokrotnością 6? przecież 6*5=30

iteRacj@: jedna z liczb w iloczynie n(n+1) jest parzysta → iloczyn 5n(n+1)(n²+n+1) jest wielokrotnością 5*2=10 potrzebujemy udowodnić, że to wyrażenie jest wielokrotnością 30=10*3 dlatego pokazuję też podzielność przez 3