Całka nieoznaczona Maciek:

	x+2
Oblicz całkę nieoznaczoną: √
	x

jc:

	x+2
∫(		)1/2 dx
	x

	x+2		2
Podstawimy t2=		, x=
	x		t2−1

	2		2t		2
całka = ∫t (		)' dt =		− ∫		dt
	t2−1		t2−1		t2−1

	2t		1		1		2t		t−1
=		− ∫(		−		) dt=		− ln|		|
	t2−1		t−1		t+1		t2−1		t+1

Basia:

	x+2
t2 =
	x

x*t² = x+2 x*t²−x = 2 x(t²−1)=2

	2
x =
	t2−1

	2		4t
dx = −		*2t = −
	(t2−1)2		(t2−1)2

	4t		t2
J = ∫√t2*(−		)dt = −4∫		dt =
	(t2−1)2		(t2−1)2

	t2
−4∫		dt
	(t−1)2(t+1)2

i teraz rozkład na ułamki proste

t2		A		B		C		D
	=		+		+		+
(t−1)2(t+1)2		(t−1)2		t−1		(t+1)2		t+1

z tym już sobie poradzisz ?

jc: Basiu, w takich całkach nie liczymy jawnie dx/dt tylko od razu całkujemy przez części. ∫f(x)dx = ∫t g(t)' dt = t g(t) − ∫g(t) dt t=f(x), x=f⁻¹(t)=g(t)

Basia: fakt, jakoś mi umknęło, dawno się tym nie bawiłam niepotrzebna robota, chociaż pewnie wyjdzie tak jak należy

jc: Jasne, że wyjdzie. Nawet widać, że tak samo.

Mariusz:

	x+2
Wygodniejsze będzie podstawienie t=x+x√
	x

Wy użyliście trzeciego podstawienia Eulera jednak w tej całce mniej obliczeń daje pierwsze podstawienie Eulera

jc: Mariusz, pokaż swój rachunek. Porównaj z moim.

Mariusz:

	x+2
(t−x)=x√
	x

	x+2
t2−2tx+x2=x2
	x

	2
t2−2tx+x2=x2(1+		)
	x

t²−2tx+x²=x²+2x t²−2tx=2x t²=2tx+2x x(2t+2)=t²

	t2
x=
	2t+2

	x+2		2t+2		t2
√		=		(t−		)
	x		t2		2t+2

	x+2		2t+2	t2+2t
√		=
	x		t2	2t+2

	x+2		t+2
√		=
	x		t

	2t(2t+2)−2t2
dx=		dt
	(2t+2)2

	t2+2t
dx=		dt
	2(t+1)2

	t+2	t2+2t
∫			dt
	t	2(t+1)2

1		(t+2)2
	∫		dt
2		(t+1)2

Tej całki nie musimy liczyć ani przez części ani rozkładać funkcji podcałkowej na sumę ułamków prostych współczynnikami nieoznaczonymi bo wystarczy skorzystać z wzoru skróconego mnożenia

1		((t+1)+1)2
	∫		dt
2		(t+1)2

1		(t+1)2+2(t+1)+1
	∫		dt
2		(t+1)2

1		1		1
	(∫dt+2∫		dt+∫		dt)
2		t+1		(t+1)2

1		1
	((t+1)−		)+ln|t+1|+C
2		t+1

1	(t+1)2−1
		+ln|t+1|+C
2	t+1

t2+2t
	+ln|t+1|+C
2t+2

t2	t+2
		+ln|t+1|+C
2t+2	t

	x+2		x+2
x√		+ln|x+1+x√		|+C
	x		x

Gdybym skrócił tak jak ty i nie pokazywał wyznaczenia x z podstawienia to rachunek też byłby krótszy

jc: Mariusz, nie wygląda to na prostszy rachunek. Co opuściłem? 1. Wyliczenie x.

	x+2		2
t2=		=1+
	x		x

	2
t2−1=
	x

	2
x=
	t2−1

2. Końcowe podstawienie (powrót do zmiennej x). 3. Rozkład na ułamki proste.

1		1		b−a
	−		=
t+a		t+b		(t+a)(t+b)

Ta prosta tożsamość w przypadku a≠b pozwala od razu napisać rozkład na ułamki proste. W przypadku liczb zespolonych tożsamość uzasadnia twierdzenie o rozkładzie na ułamki proste.

	2		1		1
Zatem rozkład		=		−		piszemy od ręki.
	t2−1		t−1		t+1

jc: Dodam najważniejszą różnicę, nigdzie nie muszę liczyć dx/dt! Ty liczysz.