calka marek:

	1
Całka ∫
	2x2−12x+27

	16		16x−48
Wynik mi wyszedł		arctg
	144		72

I nie wiem czy to jest poprawny, jakby ktos mogl sprawdzic.

marek:

	8		(x−3)4
Pomyłka, wynik to:		arctg
	√72		√72

marek: Jeszcze mam pytanie odnośnie tej całki ∫e^xsinxdx. Za pierwsze podstawienie zrobiłem u = sinx, u' = cosx, v'=e^x, v = e^x Wychodzi z tego sinxe^x−∫cos(x)e^x. Później zrobiłem u= e^x, u' = e^x, v'=cosx, v =sinx Sumując wszystko wychodzi: −2sine^x+∫e^xsinx Zauważamy rekurencję czyli: ∫e^xsinxdx = −2sine^x+∫e^xsinx ∫e^xsinxdx = −sinxe^x I tutaj sie wynik nie zgadza, ze względu na drugie podstawienie, gdybym zrobił u = cosx, u' = −sinx, v'=e^x, v = e^x, to by wszystko dobrze wyszło, nie rozumiem czemu tak sie dzieje.

grzest: Błędy rachunkowe w obu całkach. Poprawność całkowania możesz sprawdzić obliczając pochodna z wyniku całkowania. Prawidłowy wynik pierwszej całki:

	1		1		√2(x−3)
∫		dx=		arctg		+C.
	2x2−12x+27		3√2		3

"Zauważamy rekurencję czyli:" − tutaj sprawdż znaki przenoszonych wyrażeń.

marek: A no prawda, w tym drugim przykladzie jest błąd, ale to w takim razie ∫e^xsinx mi sie wyzeruje

marek: Tfu.... równoważne wyjdzie. Nie wiedziałem ze takie cos jest mozliwe, wtedy trzeba zrobić na odwrót tak?

marek:

	1		x−3
Ta druga całka wyszła mi		arctg		wiec ta końcówka się różni troche
	3√2		3√2   2

	x		3√2
od Twojej nie wiedzieć czemu. Skoro wzór jest ...arctg		gdzie x = x−3, a=
	a		2

grzest: Po pierwsze:

x−3		√2(x−3)
	=		. Twój wynik jest taki sam jak mój.
3√2   2		3

Po drugie: ∫e^xsinxdx= u=e^x dv=sinxdx du=e^xdx v=−cosx =e^xcosx+∫e^xcosx= u=e^x dv=cosxdx du=e^xdx v=sinx Otrzymujemy więc równość ∫e^xsinxdx=e^xcosx +e^xsinx−∫e^xsinx. Stąd mamy

	1
∫exsinxdx=		ex(sinx−cosx)+C.
	2

Inne podstawienia nie doprowadzą do rozwiązania całki.

Mariusz: W drugiej całce dobór części nie jest aż taki ważny Jeżeli chcemy aby całka nam się zapętliła to wybór musi być konsekwentny Całka nie musi nam się zapętlić , gdy zaczniemy liczyć tę całkę obydwoma doborami części to dostaniemy układ równań z którego będziemy mogli ją obliczyć ∫e^xsin(x)dx Dokonajmy doboru części zaproponowanego przez Marka u=sin(x) dv=e^xdx du=cos(x)dx v=e^x ∫e^xsin(x)dx=e^xsin(x)−∫e^xcos(x)dx Jak pokazał Grzest jego dobór części też pasuje ∫e^xsin(x)dx u=e^x dv=sin(x)dx du=e^xdx v=−cos(x) ∫e^xsin(x)dx=−e^xcos(x)+∫e^xcos(x)dx Mamy zatem układ równań ∫e^xsin(x)dx=e^xsin(x)−∫e^xcos(x)dx ∫e^xsin(x)dx=−e^xcos(x)+∫e^xcos(x)dx z którego możemy policzyć zarówno całkę ∫e^xsin(x)dx jak i całkę ∫e^xcos(x)dx

marek: Czyli wybór jest ważny, myślałem ze obojętnie co weźmiemy to wyjdzie nam to samo. Ciekawe.

	x−3
Wracając do		to przeciez podzielić to znaczy pomnożyć przez odwrotność czyli
	3√2   2

	x−3		2
		*		czyli to co napisałem, nie czaje skąd masz tę swoją forme.
	1		3√2

marek: ah... ty usunąłeś niewymierność po rostu

Mariusz: Marek wybór części nie jest ważny Możesz wybrać części tak ∫e^xsin(x)dx u=sin(x) dv=e^xdx du=cos(x)dx v=e^x Otrzymasz wtedy całkę ∫e^xsin(x)dx=e^xsin(x)−∫e^xcos(x)dx Jeśli w następnym całkowaniu przez części chcesz liczyć całkę ∫e^xcos(x)dx to musisz części dobrać w ten sam sposób ∫e^xcos(x)dx u=cos(x) dv=e^xdx du=−sin(x)dx v=e^x ∫e^xcos(x)dx=e^xcos(x)+∫e^xsin(x)dx Podobnie jeśli chcesz liczyć całkując funkcję trygonometryczną ∫e^xsin(x)dx u=e^x dv=sin(x)dx du=e^xdx v=−cos(x)dx ∫e^xsin(x)dx=−e^xcos(x)+∫e^xcos(x)dx Jeśli w następnym całkowaniu przez części chcesz liczyć całkę ∫e^xcos(x)dx to musisz części dobrać w ten sam sposób ∫e^xcos(x)dx u=e^x dv=cos(x)dx du=e^xdx v=sin(x) ∫e^xcos(x)dx=e^xsin(x)−∫e^xsin(x)dx Tak więc wybór części nie jest ważny tyle że całkując drugi raz bądź konsekwentny w swym wyborze

marek: Ahhh.... rozumiem. Ja zrobiłem po prostu raz tak raz tak, nie myslalem, ze trzeba tak samo robić. Dzieki wielkie

marek: sure albo ktos inny moze mi powiedziec, czy wynik tej całki to:

1
	(−ln|2x+1|+ln|2x|)
ln2

	1
Całka wyglądała tak: ∫
	2x+1

marek: Tam w pierwszym poście troche ta całka sie rozni od tej, bo tam była ze zmienną a, ale na to samo wychodzi. Chodzi mi tylko czy poprawnie to zrobiłem.

marek:

Mariusz: t=2^x t=e^xln(2) dt=ln(2)e^xln(2)dx dt=ln(2)2^xdx dt=ln(2)tdx

1	dt
		=dx
ln(2)	t

1		1
	∫		dt
ln(2)		t(t+1)

1		(t+1)−t
	∫		dt
ln(2)		t(t+1)

1		dt		dt
	(∫		−∫		)
ln(2)		t		t+1

1
	(ln|t|−ln|t+1|)+C
ln(2)

1
	(ln|2x|−ln|2x+1|)+C
ln(2)

Dostałeś funkcję pierwotną ale mogłeś ją otrzymać nawet jeśli w obliczeniach popełniłeś kilka błędów