udowodnij indukcyjnie
Kamil: Z pomocą indukcji matematycznej udowodnić, że następujące zależności zachodzą dla dowolnej
liczby naturalnej n:
od i=1 do n ∑i
3=(od i=1 do n ∑i)
2
rozpisuję:
1+8+27+...+n
3=(1+2+3+...+n)
2
dla n=1
1
3=1
2
L=P
Założenie indukcyjne:
1+8+27+...+n
3=(1+2+3+...+n)
2
Teza:
1+8+27+...+n
3+(n+1)
3=(1+2+3+...+n+n+1)
2
Dowód:
L=(1+2+3+...+n)
2+(n+1)
3
Nie wiem co dalej mogę zrobić
24 lut 13:14
Blee:
Ale przeciez:
P = ( (n2+3n+2)/2)2. Bo w liczniku masz (n+2)(n+1)
24 lut 13:37
Blee:
Licznik w L (po utworzeniu ulamka) = (n(n+1))2 + (n+1)2*4(n+1) = (n+1)2( n2 + 4n + 4) =
(n+1)2(n+2)2
24 lut 13:41
Kamil: przecież w P jest wzór na sumę ciągu arytmetycznego gdzie
a
1=1
a
n=n+1
| | a1+an | | 1+n+1 | | 2n+n2 | |
Sn= |
| *n= |
| *n= |
| |
| | 2 | | 2 | | 2 | |
co źlę robię?
24 lut 13:52
iteRacj@:
Założenie indukcyjne:
1+8+27+...+k
3=(1+2+3+...+k)
2
Teza:
1+8+27+...+k
3+(k+1)
3=(1+2+3+...+k+k+1)
2
P=(1+2+3+...+k+k+1)
2=[(1+2+3+...+k)+(k+1)]
2=(1+2+3+...+k)
2+2*(1+2+3+
...+k)*(k+1)+(k+1)
2=
| | 1+k | |
=1+8+27+...+k3+2*( |
| *k)*(k+1)+(k+1)2=1+8+27+...+k3+(k+k2+k+1)*(k+1)= |
| | 2 | |
=1+8+27+...+k
3+(k
2+2k+1)*(k+1)=1+8+27+...+k
3+(k+1)
3=
L
24 lut 13:53
Blee:
Kamil a ile wyrazow masz po prawej stronie ... jak dla mnie to n+1) a ostatni to n+1
24 lut 13:57
Kamil: ale babol. wielkie dzięki
24 lut 13:58