calka piotri: Potrzebuje pomocy z dwoma całkami. Jedną rozwiązałem, ale na wolphramie wynik jest całkiem inny niż u mnie nie wiem czemu To jest ta całka:

	1
∫		dx
	sinx(cosx+2)

Zrobiłem tutaj podstawienie uniwersalne czyli:

	x		2t		1−t2		2dt
t = tg		,sinx =		, cosx =		, dx =
	2		1+t2		1+t2		1+t2

Następnie zastosowałem rozkład na ułamki proste, czyli wyliczałem A,B,C i na sam koniec obliczałem każdą całkę z osobna.

	1		x		1		x		1		x
Wynik mi wyszedł: −		ln|1−tg		|−		ln|1+tg		|+		ln|tg		|
	3		2		3		2		3		2

A druga całka to:

	dx
∫		i tutaj nie wiem jak zastosować podstawianie.
	ax−1

Dziekuje

sure: druga calka podstawienie t = a^x

	dt		dt
dt = ax*ln(a) dx −−> dx =		−−> dx =
	ax*ln(a)		t*ln(a)

	dx		dt		1		dt
∫		= ∫		=		∫		= ... juz prosto
	ax−1		(t−1)*t*ln(a)		ln(a)		t(t−1)

jc: c = cos x

	dx		sin x dx
∫		= ∫
	(2 + cos x) sin x		(2 + cos x) (1 − cos2x)

	dc
=− ∫
	(2 + c) (1 − c2)

1		1		1		1
	=		(		−		)
(c − 1) (c+1)(c+2)		c−1		c+1		c+2

	1		1		1		1		1		1
=		(		−		) −		(		−		)
	2		c−1		c+1		3		c−1		c+2

	1		1		1		1		1		1
=				−				+
	6		c−1		2		c+1		3		c+2

	1		1		1
całka =		ln|c−1| −		ln|c+1| +		ln|c+2|
	6		2		3

piotri: Okej rozumiem wszystko. Pytanie tylko do jc, tym moim sposobem nie dało by się rozwiązać? Co prawda Twój sposób jest 1000x prostszy, ale wpaść na niego jest na pewno trudniej.

jc: Oczywiście dałoby się, przecież policzyłeś.

piotri: Z tym, ze całkiem co innego wychodzi, Ty masz tam cosinusy, ja mam tangensy

piotri: w takim razie zrobiłem jakiś błąd w obliczeniach czy o co tutaj chodzi?

jc: Twoje podstawienie daje całkę

	1+t2		1+t2
∫		dt = ∫		tdt
	t(3+t2)		t2(3+t2)

Zamieniasz zmienne u=t².

	1		1+u		1		1		2
=		∫		du=		∫(		+		)du
	2		u(u+3)		6		u		3+u

	1		1
=		[ln u + 2 ln(3+u)]=		[ln t + ln(3+t2)]
	6		3

To pewnie to samo z dokładnością do stałej (chyba że gdzieś są błędy).

jc: Wyniki różnią się o (ln 2)/3, a więc o stałą.

piotri: jc, mam pytanie odnośnie pierwszej linijki.

	1+t2
Mnie wyszło		, a ty masz +3t.
	t3+6t

Ogólnie po podstawieniu mamy takie coś:

1
	i z tego mi wyszlo to u góry własnie.
2t   1−t2   *( +2) 1+t2   1+t2

piotri:

	1		1
I jeszcze jedno pytanko, co się stało między =		....=		... czyli po podstawieniu
	2		6

jc: (1−t²) + 2(1+t²)=t²+3

1+u		1		1		2
	=		(		+		)
u(u+3)		3		u		u+3

piotri:

	2t
no tak to prawda, ale jeszcze masz przed tym nawiasem		, a Ty tego nie pomnozyles
	1+t2

piotri: tam jest sinus przed nawiasem

jc:

	dx		1		2dt
∫		=∫
	sin x (2 + cos x)		2t   1−t2   (2 + )   1+t2   1+t2		1+t2

	(1+t2) dt
=∫
	t(3+t2)

piotri: O matko, zapomniałem o dx.