całka misiek: Pomoc w dokonczeniu całki ∫tg⁵xdx Robiłem to tak:

	sin2x
Całka: ∫tg5xdx= ∫(tg(x)*(tg2x)2)dx = ∫(tgx * (		)2)dx = .... =
	cos2x

	1
∫(tgx*		2)dx − ∫tgxdx
	cos2x

I teraz jak zrobić to:

	1		1
∫(tgx*		2)dx. Próbowałem przed podstawienie t = tgx dt =		dx, ale
	cos2x		cos2x

własnie brakuje jeszcze jednego kwadratu przez co nie wiem co mam dalej zrobić.

jc: (tg x)'= 1+tg²x, tg⁵x = (tg³x−tg x)(1+tg²x) + tg x

	1		1
dlatego całka =		tg4x −		tg2x − ln|cos x|
	4		2

misiek: a tym sposobem co ja robiłem? bo wszystko robie tym sposobem dlatego wole sobie juz nie mieszac.

jc: A jakim sposobem robiłeś? 1/cos²x = 1 + tg²x. Widzisz podobieństwo?

misiek: No własnie przez podstawienie np, gdyby było

	tgx
∫tg3xdx = ... = ∫		dx − ∫tgxdx
	cosx

	tgx
I tutaj ∫		dx
	cosx

	1
Podstawiamy: t = tgx ; dt =		i tutaj ładnie sie wszystko podstawi.
	cos2x

	1
Wyjdzie z tego: ∫tdt =		t2+c ... i koniec, a w moim tego kwadratu brakuje podczas
	2

	1
podstawienia, bo ja mam: (		)2
	cos2x

Chyba czegoś tutaj nie widze, nie wiem....

jc: tg⁴x−1=(tg²x−1)(tg²x+1)=(tg²x−1)/cos²x tg⁵x − tg x =(tg³x − tg x)/cos²x tg⁵x =(tg³x − tg x)/cos²x + tg x Teraz całkuj.

misiek: ale to jest wciaz calkiem co innego niz co mam zrobione, tym co ja mam to sie nie da zrobic? Wszystkie przykłady trygonometryczne robie tak dlatego nie chce sobie mieszać innymi sposobami

Adamm: jeśli chcesz całkować swoim sposobem to zrób to sam

Mariusz: To podstawienie jest dobrym pomysłem Po podstawieniu otrzymasz

	t5
∫		dt
	1+t2

	t5−t		t
∫		dt+∫		dt
	t2+1		t2+1

	t(t2+1)(t2−1)		1		2t
∫		dt+		∫		dt
	t2+1		2		t2+1

	1		2t
∫(t3−t)dt+		∫		dt
	2		t2+1

	1		1		1
=		t4−		t2+		ln|1+t2|+C
	4		2		2

	1		1		1
=		tg4−		tg2+		ln|1+tg2|+C
	4		2		2