Zbadać przebieg zmienności funkcji. Matematyczna pokraka: f(x)=−1/3x³+x²+3x x∊<−3;4> Zbadać przebieg zmienności funkcji: monotoniczność, ekstrema lokalne i globalne, punkty, w których funkcja się zeruje, przedziały wklęsłości i wypukłości, punkt przegięcia.

Basia: Potrafisz policzyć pochodną?

Matematyczna pokraka: Tak, pochodna wyszła mi f'(x)=−x²+2x+3

Basia: dobrze to teraz znajdź miejsca zerowe tej pochodnej czyli rozwiąż równanie −x²+2x+3=0

Basia: i naszkicuj wykres pochodnej

Matematyczna pokraka: Wyszło 3 i −1, czyli funkcja będzie rosnąca w przedziale (−1;3), a malejąca w <−3;−1) v (3;4>, tak?

Basia: tak czyli f(−1) to minimum lokalne a f(3) to maksimum lokalne policz f(−3), f(−1), f(3) i f(4) wartość najmniejsza to minimum globalne, największa to maksimum globalne (oczywiście w tym zadanym przedziale)

Maciess: Przedziały monotoniczności chyba nie można zapisywać w ten sposób Wg mnie maleje w x∊<−3;−1) oraz w x∊(3;4>

Basia: jeżeli ten znaczek miał oznaczać sumę, to rzeczywiście nie można przeczytałam to jako "lub" zresztą zgodnie z prawdą i zrozumiałam, że Mat.... pisze, że rośnie gdy x∊<−3,1) lub gdy x∊(3;4>

Basia: maleje oczywiście

Matematyczna pokraka: Oczywiście chodziło mi o "lub" 😁 Wyszło mi tak f(−3)=9, f(−1)=−1 2/3, f(3)=9, f(4)=6 2/3. Czyli maksimum globalne będzie w punktach −3 i 3, a minimum globalne w punkcie −1.

Basia: teraz policz drugą pochdną (czyli pochodną pochodnej) dalej tak samo: miejsca zerowe, wykres, tam gdzie druga ujemna ⇒ f.wklęsła tam gdzie druga dodatnia ⇒ f wypukła tam gdzie zmiania znak masz punkt przegięcia ostatnie: gdzie się zeruje −1/3x³+x²+3x=0 /*3 −x³+3x²+9x=0 x(−x²+3x+9)=0 x=0∊<−3,4> czyli jest miejscem zerowym lub −x²+3x+9 = 0 Δ = 9−4*(−1)*9 = 9+4*9 = 5*9 √Δ = 3√5

	−3−3√5		3+3√5
x1 =		=
	−2		2

na pewno jest >−3 sprawdzamy czy jest ≤4

3+3√5
	≤4 ?
2

3+3√5 ≤ 8 3√5 ≤ 5 /()² 9*5 ≤ 25 sprzeczność x₁ ∉<−3,4> nie jest więc miejscem zerowym

	−3+3√5		3−3√5
x2 =		=
	−2		2

na pewno jest ujemne więc <4 sprawdzamy czy ≥−3

3−3√5
	≥ −3 ?
2

3−3√5 ≥ −6 9 ≥ 3√5 81 ≥ 3*5 prawda; x₂∊<−3;4> i jest miejscem zerowym

Matematyczna pokraka: f''(x)=−2x+2 f''(x)≤0 dla x∊<1;4> w tym przedziale f(x) jest wklęsła f''(x)≥0 dla x∊<−3;1> w tym przedziale f(x) jest wypukła a punkt przegięcia to (1;3 2/3) Zgadza się?

Matematyczna pokraka: Tylko nie mam pewności co do tych nawiasów, czy powinny być domknięte czy otwarte przy 1?

Basia: bez równości x∊<−3;1) ⇒ f">0 ⇒ f wypukła x∊(1;4> ⇒ f:<0 ⇒ f wklęsła punkt przegięcia ok.

Matematyczna pokraka: Ok, baaardzo dziękuję za pomoc ❤️❤️

Basia: nie taka znów z Ciebie pokraka; sam to rozwiązałeś (aś)

Matematyczna pokraka: Ale bez pomocy było ciężko to zrobić 😁