... Agata:): x⁴+√5ix²+1=0 Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Proszę o pomoc.

grzest: x⁴+√5ix²+1=0 Jest to równanie dwukwadratowe o zespolonych współczynnikach. Podstawiamy t=x² i liczymy jak zwykłe równanie kwadratowe t²+√5it+1=0 Δ=(√5i)²−4*1*1=−5−4=−9 √Δ₁=3i, √Δ₂ =−3i.

	−√5i−3i		−i
t1=		=		(3+√5),
	2		2

	−√5i3i		i
t2=		=		(3−√5).
	2		2

Następnie obliczamy x₁ oraz x₂ wyciągając pierwiastek kwadratowy z t₁ (t₁ jest liczbą zespoloną!). Obliczenia powtarzamy dla t₂. Wyniki powinny być następujące (o ile nie zrobiłem błędu):

	3+√5
x1=(1−i)		,
	2

	3+√5
x2=(−1+i)		,
	2

	3−√5
x3=(1+i)		,
	2

	3−√5
x4=−(1+i)		.
	2

Jack: skoro jest x⁴ to beda 4 pierwiastki. podstawiajac t = x² t² + √5it + 1= 0 i standardowa delta jak w sredniej Δ_t = (√5i)² − 4*1*1 = 5i² − 4 = −5 − 4 = −9 √Δ_t = √−9 = √9i² = ±3i

	−√5i − 3i
t1 =
	2

	−√5i + 3i
t2 =
	2

zatem

	−√5i − 3i
x2 =
	2

lub

	−√5i + 3i
x2 =
	2

Agata:): A jak policzyć dalej te x² Jack?

Agata:): "Wyniki powinny być następujące (o ile nie zrobiłem błędu):" − Jak policzyc to wlasnie?

grzest: https://www.matemaks.pl/pierwiastkowanie-liczb-zespolonych.html http://matematykadlastudenta.pl/strona/685.html

grzest: Wykonam obliczenia dla

	3+√5
t1=x2=−i		.
	2

Wzór ogólny

	φ+2kπ		φ+2kπ
xk=√|t1|(cos(		)+isin(		) ), k=0,1.
	2		2

	3+√5
W rozpatrywanym przypadku φ=3/2π, |t1|=		.
	2

Mamy więc

	√2		√2
x0=√(3+√5)/2(cos3/4π+isin3/4π)=√(3+√5)/2(−		+i		)=
	2		2

	√3+√5
=		(−1+i),
	2

	√2		√2
x1=√(3+√5)/2(cos(3/4π+π)+isin(3/4π+π))=√(3+√5)/2(		−i		)=
	2		2

	√3+√5
=		(1−i).
	2

Podobne obliczenia należy wykonać dla t₂.