Pierwiastek w nierówności Karola: Rozwiąż nierówność: √x⁴ − x² ≤ 4 − x² Nierówności nie stanowią dla mnie problemu. Mogę prosić jedynie o wskazówkę jak poradzić sobie z tym pierwiastkiem ?

PW: To jest ustalenie dziedziny nierówności: wyrażenie pierwiastkowane musi być nieujemne (bo taka jest definicja pierwiastka), wobec tego x⁴−x²≥0 x²(x²−1)≥0 x=0 jest rozwiązaniem oraz te x, dla których x²−1≥0, czyli (x−1)(x+1)≥0, a więc x∊(−∞, 1)∪(1,+∞). Ostatecznie: dziedziną nierówności są x∊(−∞, 1)∪{0}∪(1,+∞). Napisz, co zrobisz dalej.

PW: Korekta: x∊(−∞,−1)∪{0}∪(1,+∞)

Karola: Nadal dalej ruszyć nie mogę. Do tej pory spotylalam sie tylko z przypadkami ze wyrazenie pod pierwiastkiem dalo sie zwinac do kwadratu i zmienialo sie to w wartosc bezwzgledna. A tutaj nie mam pomyslu kompletnie

PW: Podpowiem. Jeżeli prawa strona jest ujemna, to nie ma czego szukać (bo lewa jest nieujemna, więc nierówność jest fałszywa. 4−x²<0 ⇔(x−2)(x+2)>0 ⇔x∊(−∞,−2)∪(2,∞) − dla takich x nie ma rozwiązań. W dziedzinie są jeszcze x∊<−2,−1)∪{0}∪(1,2>. Dla x=0 sprawdzamy bezpośrednio, że dostajemy zdanie prawdziwe √0⁴−0⁴≤4−0², a więc 0 jest rozwiązaniem. Dla pozostałych x można nierówność podnieść stronami do kwadratu, bo wiemy że obie strony są nieujemne − uzyskamy równoważną nierówność x⁴−x²≤(4−x²)², x∊<−2,−1)∪(1,2>

Karola: Dziekuje pieknie, wszystko jasne 😄 Tylko drobny blad w obliczeniach ostatnich bo w wyniku zamiast +/− 2 ma byc +/− 4√7/7 Przez chwile pomyslalam zeby zrobic to w taki sposob ale zaczelam sie zastanawiac czy rzeczywiscie ten pierwiastek musi byc nieujemny bo np zarowno 2x2 jak i −2x(−2) daje 4. I juz zaczelam miec metlik w glowie bo w sumie za √4 uznaje sie tylko 2. Albo zawsze jezeli x² = 4 sa dwie odpowiedzi 2 lub −2 . I juz gubie sie w tym kiedy ma byc tak a kiedy tak.