rozwiąż równanie Michał : Hey, zastanawiam się nad rozwiązaniem równania: 1. √x−1=x−3 2. x−2√x−2=6 Ad. 1 x−1>=0 => x>=1 √x−1=x−3 / ² x−1=x²−6x+9 0=x²−7x+10 Δ=9

	7−3
x1=		=2
	2

	7+3
x2=		=5
	2

odp. x=2 i x=5 // ODP prawidłowa x=5. Czemu x=2 nie ? Skoro nalezy do dziedziny? Ad. 2 x−2√x−2=6 x−2>= 0 => x>=2 (dziedzina) x−2√x−2=6 /² x²−4x√x−2+4x−8=36 //i w sumie nie wiem jak dalej to robić na jedną stronę przenoszę i dalej klops :X mógłby ktoś zrobić ten przykład, byłbym bardzo wdzięczny Bardzo prosiłbym o rozwiązanie tych zadań, wraz z opsiem. Z gory bardzo dziękuję wszystkim zaainteresowanym i pozdrawiam ciepło Michał <3

PW: Znowu dokonałeś nieuprawnionej operacji podnoszenia do kwadratu: (1) √x−1=x−3 − jeżeli podniesiesz stronami do kwadratu, a nie masz pewności, że prawa strona jest nieujemna, to owszem, wynika stąd, że (2) x−1=(x−3)³, ale równoważności nie ma (możesz wprowadzić tzw. "obce pierwiastki"). Przykład: x=−5 ma jedno rozwiązanie, zaś x²=(−5)² x²=25 ma dwa rozwiązania.

Michał : Ok, eh po prostu chyba jakoś tego nie czuję, w sensie takim że nie wiem kiedy mogę to dowolnie stosować a kiedy nie. Zadam więc pytanie jak do tego podejść? Mając niewiadomą pod pierwiastkiem po lewej stronie równania wiem że prawa strona musi być dodatnia bo pierwiastek z liczby ujemnej nie istnieje (przynajmniej poki co). Dla tego robię dziedzinę wartość pod pierwiastkiem ma być >=0. Mam dziedzinę więc wartość którą uzyskam po prawej stronie równania będzie należeć do dziedziny. No to co teraz? Bo niby wiem że... √(coś)²=|coś| |coś| = coś >=0 −(coś)<0 No i mogę robić dwa przedziały.... Ford wczoraj mi to rozpisał, ale chyba nie do końca rozumiem o co w tym chodzi. A co z tym? (√coś)² tutaj chyba nie robię wartości bezwględnej. Podnosząc równanie do kwadratu który wariant stosuje?

Jerzy: 1) x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 2) x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 Ostatecznie: x ≥ 3 ... i teraz obustronnie do kwadratu.

Michał : I teraz Jerzy przedział eliminuje pierwszą odpowiedź czyli x=5 jest poprawna w 1 =) dziękuję. Wniosek chyba taki że: W przypadku gdy mam np. √x−3=x+4 to robię dziedzinę dla lewej i prawej strony czyli x−3>=0 <=> x>=3 x+4>=0 <=> x>=(−4) A potem liczę równanie, zgadza się?

Jerzy: Dokładnie tak,tylko bierzesz iloczyn ( część wspólną ) obydwu warunków.

Michał : Jasne Dziękuję PW i Jerzy. To teraz został drugi przykład. Gdyby ktoś mógł go rozwiązać będę wdzięczny.

jc: Zawsze można zastosować analizę starożytnych. √x−1=x−3 x−1=(x−3)²=x²−6x+9 x²−7x+10=0 x=2 lub x=5 Sprawdzamy. Tylko 5 jest rozwiązaniem.

Jerzy: 2) x > 2 i obustronnie do kwadratu.

Michał : Dokładnie zawsze można, ja niestety jestem chyba na etapie prehistori, więc momentami z tym ciężko no i mimo wszystko wiesz jc, chce być świadom tego jak co działa i się liczy X_x Ok pytaie do x>2 x−2√x−2=6 //nie powinem x na druga stronę? −2√x−2=6−x x−2>=0 x>=2 ale potem wynik mnoże razy −2 więc otrzymuje wartość ujemną po lewej stronie równania/ lub równą 0. Więc... −2√x−2=6−x 6−x<=0 x>=6 suma przedziałów? x>=6? hmnn?

Jerzy: A po co ? Prawa strona jest dodatnia ( 6 > 0 ) , a więc lewa też musi być dodatnia: Jeśli √x − 2 ≥ 0 , to musi być: x − 2 > 0 i x − 2 > 0 , czyli: x > 2

Jerzy: OK ... możesz x przenieść na prawą i teraz obustronnie do kwadratu ( założenia już masz )

jc: Po kolei. Jeśli √x−1=x−3, to x−1 = (x−3)². Jeśli x−1 = (x−3)², to x=2 lub x=5. Możliwymi rozwiązaniami są więc liczby 2 i 5. Sprawdzamy. 2 nie jest rozwiązaniem. 5 jest rozwiązaniem, Zatem jedynym rozwiązaniem jest 5. Takie sposób rozwiązania nazywa się analizą starożytnych. Nie przekształcamy równoważnie, co często wymaga zapisywania dodatkowych warunków. Po prostu wnioskujemy, że niewiadoma należy do łatwego do opanowania zbioru (w naszym zadaniu zbiór liczy 2 elementy), a następnie sprawdzamy, jakie wartości faktycznie są rozwiązaniami.

Michał : x−2√x−2=6 /² x²−4x√x−2+4(x−2)=36 x²−4x√x−2+4x−44=0 x²−x(4√x−2−4)−44=0 No i w sumie co teraz, bo tak jak widać kręcę się w kółko... −2√x−2=6−x /² 4x−8=36−12x+x² x²−16x+44=0 Δ=80 √Δ=4√5

	16−4√5
x1=		=8−2√5
	2

	16+4√5
x2=		=8+2√5
	2

oba pierwiastki są większe niż 2 więc oba to odpowiedzi. Tylko że według podręcznika to nie prawda bo x₁ nie jest odpowiedzią poprawną, czemu?

Michał : Jc =) dziękuję za radę, postaram się z tego korzystać Choć patrząc na wynik przykładu 2: x₂=8+2√5 to wydaje mi się że mogą wyniknąć trudności w procesie sprawdzania :<

jc: x−2√x−2=6 (x−2)−√x−2+1=5 (√x−2 − 1)²=5 √x−2−1=±√5 √x−2=1±√5, tylko + pasuje x=2+(1+√5)²=8+2√5

jc: x₁ < 2!

Michał : x−2√x−2=6 (x−2)−√x−2+1=5 <−−− jak to zrobiłeś z tego u góry? Bo jak rozumiem dązysz do wzoru skróconego mnożenia, ale dla mnie to za szybki przeskok chyba. (√x−2−1)²=5 <−−−to jest jasne √x−2−1=±5 <− /√ chyba jasne √x−2=1±√5 <− 1−√5<0 więc odpada (jasne) więc zostaje tylko 1+√5 √x−2=1+√5 /² x=2+(1+√5)² 8+2√5=x // Chyba udało mi się to rozpisać sukces... tylko jak zrobić z tego wzorek u góry?

Basia: x − 2√x−2 = 6 x = x−2+2 (x−2)+2 − 2√x−2 = 6 (x−2) − 2√x−2 + 1 + 1 = 6

Michał : Dzięki Basiu za rozpisanie Eh, nie mam pojęcia jakim wy cudem wiecie jak to zrobić żeby to osiągnąć, w zyciu bym na to nie wpadł że trzeba −2+2 a potem to jeszcze rozbić. na 1+1... Mam chyba zbyt ograniczony mózg. No nic dzięki PW, Jerzy, jc i Basiu. Będę się dalej męczył może w końcu ogarnę. Miłej środy życzę papa

Basia: Ogarniesz, ogarniesz Dziekujemy i wzajemnie

Basia: To rownanie mozna tez rozwiazac tradycyjnie, Ty tam popelniles blad x−2√x−2=6 x−2≥0 x≥2 x−6 = 2√x−2 czyli musi byc x−6≥0 (bo √czegokolwiek≥0, a nieujemna≠ujemnej)⇔ x≥6 x∊<6;+∞) i pamietajac o tym podnosimy sobie obustronnie do ()² x²−12x+36 = 4(x−2) x²−16x+44 = 0 Δ=16² − 4*44 = 16*16 − 4*4*11 = 16(16−11)=16*5 √Δ=4√5

	16−4√5
x1 =		= 8−2√5
	2

x₂ = 8+2√5 sprawdzamy czy x₁≥6 8−2√5≥6 (?) 2≥2√5 1≥√5 1≥5 sprzecznosc czyli x₁ nie spelnia warunkow zadania sprawdzamy czy x₂≥6 8+2√5≥6 2√5≥−2 oczywiscie jest to prawda Odp: x= 8+2√5