wykaż, że Trójkąt: Wykaż, że równanie x⁶−x⁵+x⁴−x³+x²−x+1= 0 nie ma rozwiązań rzeczywistych. Czy da się to zadanie zrobić z pochodnych? Zastanawiam się czy jest inny sposób (może bardziej schematyczny/tradycyjny) na to zadanie niż te z linka: https://www.zadania.info/d103/1519340

PW: Są to dwa bardzo dobre sposoby, jeśli mało to próbuj sam. x⁶+x⁴+x²+1=x⁵+x³+x − dla x<0 prawa strona jest ujemna, a lewa dodatnia (nic nie trzeba liczyć ani przekształcać). A co dla x>0?

jc: Po pomnożeniu równania przez x+1 otrzymujemy równanie x⁷+1=0. Równanie to ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywistych: x=−1 (funkcja po lewej stronie jest rosnąca), jednak x=−1 nie jest rozwiązaniem oryginalnego równania, zatem oryginalne równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

jc: Teraz dopiero spojrzałem do linku. Najbardziej schematycznym rozwiązaniem nazwałbym rozwiązanie wykorzystujące wzór skróconego mnożenia na różnicę n−tych potęg. To przecież jeden z najważniejszych wzorów.

PW: Chciałem żeby rozwiązał jeszcze inaczej, jak sugerowałem o 1:22. x⁶+x⁴+x²+1=x⁵+x³+x. Jeżeli x>0 i (1) x<1, to x²<x, a więc (2) x³<x² x⁴<x³ (3) x⁵<x⁴. Zastosowanie nierówności (1), (2) i (3) pokazuje, że trzy składniki prawej strony są mniejsze od odpowiednich składników lewej strony, a więc prawa strona jest mniejsza od lewej. Dla x≥1 x²(x⁴+x²+1)+1=x(x⁴+x²+1) i podzielić obie strony przez x(x⁴+x²+1)≠0:

	1
x+		=1.
	x(x4+x2+1)

Jest oczywiste, że dla x≥1 równanie nie ma rozwiązania (lewa strona jest większa od 1). Jeszcze tylko dodać, że liczba 0 też nie jest rozwiązaniem, i koniec dowodu. Nie zalecam przeciętnemu uczniowi brnięcia w takie szacowania, ale Trójkąt domagał się "innego sposobu". Ten jest o tyle dobry, że nie trzeba znać żadnych wzorów, ani stosować grupowania i wyłączania przed nawias, na co nie zawsze mamy pomysł.

jc: PW, dwa wzory: (a+b)ⁿ=..., aⁿ−bⁿ=..., chyba każdy powinien znać. W której klasie teraz tego uczą?

PW: Obawiam się, że nie uczą. Czytam wymagania (podstawa programowa) i tam jest dla poziomu rozszerzonego wymieniona znajomość wzorów typu (a+b)³ i a³−b³.

Adam: Ale na karcie maturalnej jest

Trójkąt: Dziękuję za pomoc wszystkim! Ostatnio widziałam zadanie typu " wykaż, że .. nie ma rozwiązań rzeczywistych i był własnie sposób z liczeniem minimum lokalnego i myślałam, że on będzie zawsze działał. Pytałam, ponieważ właśnie nie zauważyłam przy robieniu zadania wzorów skróconego mnożenia/wyłączania przed nawias i często przy tego typu zadaniach jak jest więcej składników to tego nie widzę... I nie wiem co na to poradzić

Mariusz: Jest wzorek na rozłożenie takich wielomianów na czynniki nierozkładalne w R

	π		3π		5π
(1−2cos(		)x+x2)(1−2cos(		)x+x2)(1−2cos(		)x+x2)
	7		7		7

Pierwiastki można uzyskać ze wzoru de Movre a następnie te sprzężone połączyć w pary

PW: Mateńko, skąd Ty to bierzesz? Z całą pewnością nie jest to rada dla ucznia.