paramtr A/rozwiąz nierówność Michał : Dobry wieczór, potrzebuję pomocy/rady/rozwiązania nierówności, gdyby ktoś mógł pomoc będę wdzięczny: √x−5>=11−x x−5>=0 <−D(f) x>5 <−Dziedzina √x−5−11+x>=0 √x−5+x−5−6>=0 t=√x−5 t+t²−6>=0 Δ=25 t₁=−3 t₂=2 √x−5<= −3 | ² √x−5>=2 |² |x−5|<=9 |x−5|>=4 x−5<=9 v x−5 >= −9 x−5>=4 v x−5 <= −4 x<=14 v x>=−4 x>=9 v x<=1 x∊<−4;14> x∊(−∞;−1>u<9;+∞) Suma przedziałów : <9;14> // odp w książce <9;+oo) I od razu podłączam pod post zadanie 2: Odczytaj z wykresu w zależności od parametru a liczbę rozwiązań. f(x)=2|(x+1)(x−3)|

	−16
f(x)=2|x2−2x−3| => Δ=16 => q=		=−4
	4

Rysuje mam miejsca zerowe, wyliczyłem wierzchołek paraboli, ponieważ wartość bezwględna to odbiłem to coś pod osią OX na drugą stronę. Pytanie według odp parametr a przyjmuje 2 rozw. dla 0 i (8;+oo) co znaczy ze wierzchołek funkcji musi być w punkcie 8 (chyba). Czemu? Ta dwójka przed nawaisem ma jakiś wpływ na wierzchołek? Wydaje mi się że ta 2 mówi mi o tym pod jakim kątem (większym czy mniejszym) parabolama ramiona względem osi. Eh słabo to w słowa ubrałem bo nie potrafię tego wytłumaczyć. No to proszę o rozwiązania/pomoc z wytłumaczeniem, gdyby ktoś miał czas i chęci będę wdzięczny! pozdrawiam cieplutko Michał <3

Michał : Chyba w zadaniu 2 już wiem czemu q=8 (po przekształceniu) 2f(x) <−− zwiększy hmmnn wysokość (oś Y) dwa razy. Jezeli się nie mylę proszę o potwierdzenie =)

ford: Co do zad. 1 z nierównością − poległeś przy rozwiązywaniu √x−5<= −3 √x−5 to liczba dodatnia −3 to liczba ujemna nierówność przyjmuje zatem postać: liczba dodatnia <= liczba ujemna, a to jest sprzeczność, dlatego √x−5<= −3 w ogóle nie rozwiązujesz tylko piszesz że to sprzeczność Co do zad. 2 − tak, ta dwójka przed nawiasem ma wpływ na wierzchołek, wykres jest 2 razy bardziej rozciągnięty w górę, w szczególności − ta "górka" którą przedstawiłeś na wykresie, będzie 2 razy wyższa

PW: Pomysł, że x−5=p{x−5)² bardzo dobry, ale dalej... Niestworzone rzeczy wypisujesz, np. (*) √x−5≤−3 i wniosek |x−5|≤9. Przecież (*) jest zdaniem fałszywym dla wszystkich x z dziedziny − co tu dalej rozwiązywać? .............................................................................. Rozwiążmy "normalnie". (1) √x−5≥11−x Dziedziną równania jest przedział <5,∞) z uwagi na definicję pierwiastka. Łatwo zauważyć, że jeżeli 11−x<0, to (1) jest zdaniem prawdziwym (lewa strona nieujemna, prawa ujemna). Wobec tego wszystkie x∊(11,∞) są rozwiązaniami. Weźmy dalej x≤11 i należące do dziedziny, czyli x∊<5, 11>. Dla takich x obie strony są nieujemne, po podniesieniu obu stron nierówności do kwadratu dostajemy więc równorzędną nierówność (√x−5)²≥(11−x)², x∊<5, 11>. x−5≥121−22x+x² x²−23x+126≤0 (x−9)(x−14)≤0 x∊<9, 14>∩<5, 11> x∊<<9, 11>. |Odpowiedź: Rozwiązaniami nierówności są x∊<<9, 11>∪(11,∞)=<9,∞).

Michał : @Ford Dziękuję Ford Rozumiem gdzie leży mój błąd. Mam pytanie, gdy mam np. √coś <= liczba ujemna to jest zawsze sprzeczność? @PW te niestworzone rzeczy już rozumiem czemu, są niestworzone. Racja to straszna głupota była z mojej strony. Mam pytanie do 11−x<=0 czyli x>=11 bo teraz wiem ze od (11;+∞) prawa strona równania jest ujemna, a to co po lewej jest dodatnie (mowie o √x−5), czy to się nie powinno wykluczy? Tak samo x<=11 skąd w ogóle pomysł na to żeby x<=11, napisałes "weźmy dalej x<=11 należącje do dziedziny" wziałes to x<=11 bo lewa strona równania to 11−x? Eh, wiem ze moze zadaje głupie pytania (przepraszam), ale ja tego nie widzę tak po prostu PW A tak poza tym dzięki chłopaki za pomoc.

PW: Właśnie o to idzie: jeżeli x>11, to prawa strona jest ujemna, a nierówność √x−5≥liczba ujemna jest prawdziwa w sposób oczywisty − nie trzeba rozwiązywać, wszystkie x>11 ją spełniają.

Michał : Aaaaa Okkkkkkkkk rozumiem! GENIALNE! Dziękuję PW teraz to dostrzegam czemu x>11 spełnia tą nierówność Czyli potem bierzesz ten zakes <5,11> aby sprawdzić czy w tym zakresie jakieś liczby spełnią nierówność prawda? Podnosisz obie strony nierówności do kwardatu i łączysz wyrazy podobne otrzymując: x²−23x+126<=0 oki a czy nie powinno się zrobić wartości bezwględnej podnosząc √x do kwadratu?

ford: nie, dlatego że po podniesieniu √x do kwadratu otrzymujesz: (√x)² zaś wzór z wartością bezwzględną to: √x² = |x| wbrew pozorom, (√x)² oraz √x² to nie jest to samo wyrażenie (√x)² jest określone dla x≥0 (liczba podpierwiastkowa nie może być ujemna) bo pod pierwiastkiem masz sam x zatem jeśli chcesz dokonywać działań na √x, w szczególności podnosić to do kwadratu, to (po cichu) zakładasz, że x≥0, stąd nie ma sensu mieszać wartości bezwzględnej, bo wiadomo że x i tak jest dodatni zatem (√x)² = x wyrażenie √x² jest określone dla wszystkich x²≥0 (liczba podpierwiastkowa nie może być ujemna) ponieważ x² to liczba dodatnia (lub równa 0 dla x=0), to x²≥0 jest nierównością typu liczba dodatnia ≥ 0 co zachodzi zawsze zatem x∊R (ujemne iksy też spełniają założenie, np. √(−3)² = √9 = 3. Wzór √x²=|x| wziął się stąd, żeby nie zapewnić dodatniość wyrażeniu √x², nawet jeśli x będzie ujemny bez tego wzoru, czyli √x² = x otrzymalibyśmy np. dla x=−3 głupotę: √(−3)² = −3 wg wzoru: √(−3)² = |−3| = 3, co jest prawdą Pozdrawiam

ford: *pod koniec pomyłka, miało być: żeby zapewnić dodatniość wyrażeniu √x² nawet jeśli x będzie ujemny

Michał : Ok dzięki Ford za objaśnienie sprawy, doceniam i jeszcze raz dzięki panowie za pomoc W tych zadaniach. Pozwolę sobie też zadać kolejne pytania odnośnie tematu funkcji kwadratowej (aby nie tworzyć kolejnych tematów na forum). Mianowicie mam pytanie co do rys. wykresów funkcji: −f(x) − odbcie względem OX f(−x) − odbicie względem OY |f(x)| − wszystkie wartości ujemne zamieniamy na dodatnie f(|x|) − 1−szej i 4−tej ćwiartka zostają odbite na miejsce 2−giej i 3−ciej Teraz pytanie jak to wyglada we wzorach funkcji kwadratowej? np. −|x²−4|+2 = g(x) 1.wyliczam Δ=16 miejsca zerowe x₁=−2 x₂=2 2. nakładam wartość bezględną (czyli |f(x)|) //To jak w tym wzorze wyglądaloby f(|x|)? 3. obrót względem osi OX (czyli −f(x)) // To jakby wyglądał w tym wzorze obrót względem osi OY? 4. podnoszę wykres cały o dwie wartości w górę. Głupio to znowu pisać ale proszę o pomoc, podanie przykładów w których będzie pokazane, co jak wygląda Dziękuję Michał

ford: 2. f(|x|) akurat w tym wzorze nie zrobi żadnej zmiany w stosunku do wykresu f(x) 3. obrót względem osi OY nie zrobi żadnej zmiany w stosunku do wykresu z punktu 2.