Pytanie teoretyczne z klas C funkcji Anon: Otóż mam takie zadanie i nie jestem pewien czy poprawnie udzieliłem odpowiedzi Zadanie: Niech f:R²→R będzie funkcją klasy C² i niech (x₀, y₀) ∊ R² spełnia warunek:

	σf		σf
		(x0, y0) =		(x0, y0) = 0. Które zdania są prawdziwe?
	σx		σy

	σ2f
A. Jeżeli		(x0, y0) < 0
	σx2

	σ2f		σ2f		σ2f
oraz (		(x0, y0))2 <		(x0, y0) *		(x0, y0) to f ma w
	σxσy		σx2		σy2

punkcie (x₀, y₀) ekstremum lokalne.

	σ2f		σ2f		σ2f
B. Jeżeli (		(x0, y0))2 >		(x0, y0) *		(x0, y0) to
	σxσy		σx2		σy2

f nie ma w (x₀, y₀) ekstremum lokalnego

	σ2f
C. Jeżeli		(x0, y0) > 0 oraz
	σx2

	σ2f		σ2f		σ2f
(		(x0, y0))2 <		(x0, y0) *		(x0, y0) to f ma w
	σxσy		σx2		σy2

punkcie (x₀, y₀) ekstremum lokalne. D. Jeżeli f ma w (x₀, y₀) ekstremum lokalne,

	σ2f		σ2f
to		(x0, y0) *		(x0, y0) ≠ 0
	σx2		σy2

	σ2f		σ2f
E. Jeżeli		(x0, y0) *		(x0, y0) = 0, to f nie ma w (x0, y0)
	σx2		σy2

ekstremum lokalnego. Moja odpowiedź: Dedukowałem wszystko przez analize wyznacznika

	σ2f		σ2f
D2f = |				|
	σx2		σxσy

	σ2f		σ2f
|				|
	σxσy		σy2

A − tak, ponieważ skoro wyznacznik zawsze wychodzi postaci

	σ2f		σ2f		σ2f
(		*		) − (		)2
	σx2		σy2		σx2

	σ2f		σ2f
i z założenia wiemy, że (		*		) jest dodatnie, ponieważ jest większe od
	σx2		σy2

	σ2f
liczby do potęgi 2 oraz większe od (		)2 to większa − mniejsza zawsze da nam
	σx2

liczbę większą więc wyznacznik wyjdzie > 0. Co da nam ekstremum lokalne maksimum. B− tak, ponieważ przy takim założeniu wyznacznik zawsze wyjdzie nam < 0, bo liczba mniejsza − większa zawsze da nam liczbę ujemną więc nie będzie tak ekstremum. C − tak, bo tak samo jak A, tylko że mamy minimum D − tak, ponieważ przy takim założeniu wyznacznik byłby <0 albo wyznacznik byłby równy 0, a to nie pozwala na istnienie ekstremum E − nie, ponieważ mógłby wyjść nam wyznacznik 0 a to nie pozwala nam stwierdzić czy funkcja osiąga ekstremum w punkcie. Czy to poprawna odpowiedź na te pytania?

kochanus_niepospolitus: Zauważ, że w D i E inaczej interpretujesz kwestię wyznacznika =0 W D zakładasz, że jak wyznacznik =0 to nie ma ekstremum (błąd), W E zakładasz, że nie można powiedzieć czy ma czy nie ma ekstremum A,B,C są ok

Anon: Hmm czyli w D byłoba odpowiedź 'nie', czy po prostu złe uzasadnienie? Bo ja to widzę tak, że w: D − już wiemy że ma ekstremum lokalne to z tego wynika, że wyznacznik musi być >0, a żeby był >0 to

	σ2f		σ2f
		(x0, y0) *		(x0, y0) ≠ 0
	σx2		σy2

E − z wyznacznika < 0 lub równego 0 wynika, że nie ma ekstremów. a może to nie ma znaczenia

Anon: W zasadzie to jakby był równy 0 to też by mógłby mieć ekstremum lokalne tylko nie wiem jeszcze jak się to bada. Chyba już zrozumiałem i rzeczywiście będzie tylko A,B,C, trochę mi się pogmatwało, dzięki.