Echhh, zechciałby się ktoś tego podjąć? Nikola: Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej n i każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest równość:

n 1		n 2		n 3		n n
	x(1−x)n−1+2		x2(1−x)n−2+3		x3(1−x)n−3+ ... +n		xn=nx

Nikola: Przypominam się

jc: n niezależnych rzutów monetą. Prawdopodobieństwo wypadnięcia reszki = x, orzełka = 1−x.

	n k
Prawdopodobieństwo wypadnięcia k reszek =		xk(1−x)n−k.

Lewa strona = średnia liczba reszek. Średnia sumy = suma średnich = nx = prawa strona. Dowodzimy równość pomiędzy wielomianami. Równość zachodzi dla nieskończenie wielu x ∊ [0,1], co oznacza, że wielomiany po obu stronach są równe.

PW: Skąd takie szatańskie skojarzenie? [teraz już wiem − to nx po prawej stronie, ale bądź mądry...] Ja tu kombinuję z funkcja tworzącą, coś mi się plącze, a tu ... Malejemy do szeptu, Mistrzu!

Adamm:

n k		n	n−1 k−1
	=			dla n≥1, k≥1
		k

	n−1 0		n n
nx(		(1−x)n−1+...+		xn−1)=nx(1−x+x)n−1=nx

Adamm:

n−1 n−1		n n
	w ostatnim zamiast		, źle napisałem

jc: PW, podpowiedział mi na egzaminie mój wspaniały nauczyciel, no i zapamiętałem na zawsze.