Oblicz całkę 419: Witam mam problem z całką ;

1
	dx
(x−2)√4x−x2

zrobiłem to w ten sposób podstawienie;

1
	=t
x−2

1
	=(x−2)
t

−t⁽⁻²⁾dt=dx licze x..

	1
x=		+2
	t

nastepnie x podstaiwlem do 4x−x²...

	1
wynik jaki otrzymałem to −		arcsin(1/x−2)/(1/4) + C
	2

natomiast wolfram podaje odpowiedz z arctg czy zna moze ktoś jakiś inny sposób w jakim można rozwiązać to zadanie?

yyh: " za x podstawilem 4x−x² " nie rozumiem samego zapisu tego rozw. =============================== 4x−x² = −(x²−4x) = −(x²−4x+4−4) = −[(x−2)²−4] = 4 − (x−2)² podstawienie t = x−2 dt = dx

	1		1		1
∫		dx = ∫		dx = ∫		dt
	(x−2)√4x−x2		(x−2)√4 − (x−2)2		t√4 − t2

kolejne podstawienie... t = 2sinu wtedy 4−t² = 4 − 4sin²u = 4cos²u, zatem √4−t² = 2cosu oraz dt = 2cosu du

	1		1		1		1
∫		dt = ∫		2cosu du =		∫		du
	t√4 − t2		2sinu*2cosu		2		sinu

znajdz sposob na policzenie calki 1/sinus

jc: t²=4x−x²=4−(x−2)² tdt = −(x−2)dx

	−(x−2)dx		tdt		dt
całka = −∫		= −∫		=−
	(x−2)2 √4x−x2		(4−t2)t		4−t2

1

1

1

1

2+t

1

2−√4x−x2

=−

∫

+

)dt=−

ln

=

ln

4

2+t

2−t

4

2−t

4

2+√4x−x2

Sprawdź!

Mariusz: Może u Wolframa był to area tangens hiperboliczny ?

	1
∫		dx
	(x−2)√4x−x2

√4x−x²=xt 4x−x²=x²t² 4−x=xt² 4=x+xt² x(1+t²)=4

	4
x=
	1+t2

	4t
xt=
	1+t2

	0(1+t2)−4(2t)
dx=		dt
	(1+t2)2

	−8t
dx=		dt
	(1+t2)2

	4
x−2=		−2
	1+t2

	4−2(1+t2)
x−2=
	1+t2

	2−2t2
x−2=
	1+t2

	1+t2	1+t2	8t
−∫				dt
	2−2t2	4t	(1+t2)2

	1
=−∫		dt
	1−t2

	1
=∫		dt
	t2−1

	A		B
=∫		}dt+∫		dt
	t−1		t+1

A(t+1)+B(t−1)=1 A+B=0 A−B=1 2A=1 B=−A

	1		1		1		1
=		∫		}dt−		∫		dt
	2		t−1		2		t+1

	1		1
=		ln|t−1|−		ln|t+1|+C
	2		2

	1		t−1
=		ln|		|+C
	2		t+1

√4x−x2   −1 x
√4x−x2   +1 x

√4x−x2−x   x
√4x−x2+x   x

√4x−x2−x
√4x−x2+x

(√4x−x2−x)2
4x−x2−(x2)

(4x−x2)+x2−2x√4x−x2
4x−2x2

4x−2x√4x−x2
4x−2x2

2−√4x−x2
2−x

	1		2−√4x−x2
=		ln|		|+C
	2		2−x