Stereometria - ostrosłup UczącySię: W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym odległości środka wysokości od krawędzi bocznej i ściany bocznej wynoszą odpowiednio a oraz b. Wyznacz objętość ostrosłupa i podaj warunek rozwiązalności zadania. oznaczyłem sobie krawędź podstawy jako c i dostałem, że c = 4b = 2√2a. Z tego chyba mógłbym policzyć sobie podstawę, ale nie wiem jak policzyć wysokość i czy moje wcześniejsze obliczenia są poprawne

Basia: A,B,C,D srodki krawedzi bocznych

	c
|AB|=|BC|=|CD|=|AD|=
	2

	c√2		c√2
a = |SC| = U{1}[2}*		=
	2		4

4a = c√2

	4a
c =		= 2√2a
	√2

	c
b=|SD|=
	4

c = 4b tak liczyles, a mnie sie wydaje, ze to nie tak wg mnie a to dlugosc odcinka PR zeby znalezc b trzeba przez P poprowadzic prosta prostopadla do plaszczyzna BSC i na razie nie wiem jak to powinno wygladac

Mila: Masz odpowiedź. Mam obliczenia, ale dość rozbudowany wzór na końcu.

Mila: |PF|=a, |PG|=b, AB=2x, |OS|=H |OB|=x√2, |OE|=x 1) Pole ΔSOB na dwa sposoby i tw. Pitagorasa: |OB|*H=|SB|*a x√2*H=k*a i H²+(x√2)²=k²⇔

	x√2*H		2x2*H2
k=		i H2+2x2=
	a		a2

	2x2		2x2−a2
2x2=H2*(		−1)⇔2x2=H2*
	a2		a2

	2x2*a2
H2=
	2x2−a2

=================== 2) Pole ΔSOE na dwa sposoby i tw. Pitagorasa: |OE|*H=h*b i H²+x²=h²

	x*H		x2*H2
x*H=h*b⇔h=		i H2+x2=		stąd
	b		b2

	x2*b2
H2=
	x2−b2

================ 3) porównanie H

2x2*a2		x2*b2
	=		stąd
2x2−a2		x2−b2

	a2*b2
x2=
	2a2−2b2

	a2
H2=2x2*		po podstawieniu za x2
	2x2−a2

	a2*b2
H2=
	2b2−a2

	a*b
H=
	√2b2−a2

4)

	1		1		4a2b2		a*b
V=		*(2x)2*H=		*		*
	3		3		2a2−2b2		√2b2−a2

	2a3*b3
V=
	3*(a2−b2)*√2b2−a2

=========================

Mila: PF⊥SB, PG⊥SE

UczącySię: Odpowiedź mam i wynosi :

	16a3b3
	3(a2 − b2)√2b2 − a2

Mila: To szkoda, że wcześniej nie podałeś. Szukaj, gdzie coś pominęłam w rachunkach. Ja dopiero jutro mogę .

Mila: Nie znalazłeś błędu?

Mila: Poprawka 1) Pole ΔSOB na dwa sposoby i tw. Pitagorasa: |OB|*H=|SB|*2a ( zastanów się dlaczego ? ) x√2*H=k*2a i H²+(x√2)²=k²

	x√2*H
k=
	2a

stąd:

	4x2*a2
H2=
	x2−2a2

2) Pole ΔSOE na dwa sposoby i tw. Pitagorasa: |OE|*H=h*2b i H2+x2⁼h²

	H*x
h=
	2b

	4x2*b2
H2=
	x2−4b2

3) porównanie H²

4x2*a2		4x2*b2
	=
x2−2a2		x2−4b2

	2a2b2
x2=
	a2−b2

==============

	4a2b2
H2=
	2b2−a2

	2a*b
H=
	√2b2−a2

========== 4)

	1		1
V=		*(2x)2*H=		4x2*H
	3		3

	1		2a2b2		2a*b
V=		*4*		*
	3		a2−b2		√2b2−a2

	16a3*b3
V=
	3(a2−b2)*√2b2−a2

=======================

UczącySię: No racja, to jest błąd, ale trochę nie jestem przekonany, bo przecież pole SOB

(|OB| * H)
	... ale czy to równa się SB * a ? Bo odcinek a nie jest przecież wysokością
2

UczącySię: Dobra, już widzę, a jest przecież jakby połową wysokości

Mila: PF nie jest wysokością P jest środkiem OS. PF⊥SB |PF|=a OF' || PF ⇒OF'=2a i OF' jest wysokością w ΔSOB poprowadzona z wierzchołka O do boku SB |OB|=x√2

1		1
	*|OB|*H=		*k*|OF'|⇔
2		2

x√2*H=k*2a w podobny sposób postąpimy z ΔSOE II sposób Skorzystaj z podobieństwa ΔSPF i SOB i tw. Pitagorasa. Skorzystaj z podobieństwa ΔSPG i SOE i tw. Pitagorasa. rysunek porzedni. Widzę, że jesteś ambitnym uczniem, więc do pracy. Jeśli nie wyjdzie , to pomogę. Najpierw przelicz I sposób, jeśli jeszcze będą pytania to pisz, jestem na forum ( aczkolwiek z przerwami)

UczącySię:

	H2
AB = √		−b2
	4

	H
AE = ED =
	2

	c
DC =
	2

	c2
AC = √		+ H2
	4

EB = b c − krawędź podstawy

b		DC
	=
AB		H

Czy w tym drugim sposobie chodzi o takie coś ?

Mila: |SE|=h Dla uniknięcia ułamków, które utrudniają przekształcenia, oznacz krawędź podstawy : 2x, albo 2c . Trzymajmy się oznaczeń jak na rysunku 21:53. 1) W ΔSOE: h²=H²+x²

b		x		2b		x
	=		⇔		=
0.5H		h		H		√H2+x2

2)W ΔSOB: k²=H²+2x²

a		x√2		2a		x√2
	=		⇔		=
1   H 2		k		H		√H2+2x2

teraz licz dalej, wiesz co ma wyjść.

UczącySię: Okej, ale sam pomysł miałem dobry tak ?

Mila: Dobry.

UczącySię: To super ! Dzięki za pomoc Milu