:((((((((
Max: Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich a,b,c,d,e,f, których suma jest równa 1 prawdziwa jest
nierówność
(a + f)−1 +(b + e)−1 +(c + d)−1 ≥ 9
16 lut 20:42
Adamm: x=a+b, y=c+d, z=e+f
v=(1/√x, 1/√y, 1/√z), u=(√x, √y, √z)
nierówność Schwarza przy iloczynie skalarnym
(x1, x2, x3)•(y1, y2, y3)=x1y1+x2y2+x3y3
(v•v)(u•u)≥|u•v|2
(1/x+1/y+1/z)(x+y+z)≥9
1/x+1/y+1/z≥9
c. b. d. o.
16 lut 21:25
Max: Nie da się tego zrobić nie korzystając z tej nierówności Schwarza?
16 lut 21:42
Mila:
Można ale więcej pisaniny:
a+b+c+d+e+f=1
| | a | | b | |
Skorzystamy z własności: |
| + |
| ≥2 dla a, b>0, równość dla a=b |
| | b | | a | |
Przekształcamy:
| | 1 | | 1 | | 1 | |
L=(a+b+c+d+e+f)*( |
| + |
| + |
| )= |
| | a+f | | b+e | | c+d | |
| | a+b+c+d+e+f | | a+b+c+d+e+f | | a+b+c+d+e+f | |
= |
| + |
| + |
| = |
| | a+f | | b+e | | c+d | |
| | a+f | | b+e | | c+d | |
= |
| + |
| + |
| + |
| | a+f | | a+f | | a+f | |
| | b+e | | a+f | | c+d | |
+ |
| + |
| + |
| + |
| | b+e | | b+e | | b+e | |
| | c+d | | a+f | | b+e | |
+ |
| + |
| + |
| = |
| | c+d | | c+d | | c+d | |
| | b+e | | c+d | |
=1+1+1+ |
| + |
| + |
| | a+f | | a+f | |
| | c+d | | a+f | | b+e | |
+ |
| + |
| + |
| = |
| | c+d | | c+d | | c+d | |
| | b+e | | a+f | | c+d | | a+f | | c+d | | b+e | |
=3+( |
| + |
| )+( |
| + |
| )+( |
| + |
| )≥3+2+2+2=9 |
| | a+f | | b+e | | a+f | | c+d | | b+e | | c+d | |
16 lut 22:30
Max: To już jest tak skończone? w sensie odp?
17 lut 16:38
Mila:
Tak, wykazane jest, że lewa strona większa od 9.
17 lut 16:53