:(((((((( Max: Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich a,b,c,d,e,f, których suma jest równa 1 prawdziwa jest nierówność (a + f)⁻¹ +(b + e)⁻¹ +(c + d)⁻¹ ≥ 9

Adamm: x=a+b, y=c+d, z=e+f v=(1/√x, 1/√y, 1/√z), u=(√x, √y, √z) nierówność Schwarza przy iloczynie skalarnym (x₁, x₂, x₃)•(y₁, y₂, y₃)=x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃ (v•v)(u•u)≥|u•v|² (1/x+1/y+1/z)(x+y+z)≥9 1/x+1/y+1/z≥9 c. b. d. o.

Max: Nie da się tego zrobić nie korzystając z tej nierówności Schwarza?

Mila: Można ale więcej pisaniny: a+b+c+d+e+f=1

	a		b
Skorzystamy z własności:		+		≥2 dla a, b>0, równość dla a=b
	b		a

Przekształcamy:

1		1		1
	+		+		≥9
a+f		b+e		c+d

	1		1		1
L=(a+b+c+d+e+f)*(		+		+		)=
	a+f		b+e		c+d

	a+b+c+d+e+f		a+b+c+d+e+f		a+b+c+d+e+f
=		+		+		=
	a+f		b+e		c+d

	a+f		b+e		c+d
=		+		+		+
	a+f		a+f		a+f

	b+e		a+f		c+d
+		+		+		+
	b+e		b+e		b+e

	c+d		a+f		b+e
+		+		+		=
	c+d		c+d		c+d

	b+e		c+d
=1+1+1+		+		+
	a+f		a+f

	a+f		c+d
+		+		+
	b+e		b+e

	c+d		a+f		b+e
+		+		+		=
	c+d		c+d		c+d

b+e

a+f

c+d

a+f

c+d

b+e

=3+(

+

)+(

+

)+(

+

)≥3+2+2+2=9

a+f

b+e

a+f

c+d

b+e

c+d

Max: To już jest tak skończone? w sensie odp?

Mila: Tak, wykazane jest, że lewa strona większa od 9.