s
aq: Rozwiąż równanie z niewiadomą n ∊ N+.
a) 1 + 2 + ... + (n−1) = n
b) 3 + 5 + ... + (2n−1) = 2n2 − 962
16 lut 11:26
Blee:
Lewa strona to skonczona suma ciagu arytmetycznego ... odpowiedni wzor nalezy uzyc i
rozwiazujesz rownania
16 lut 11:27
aq: Okej, tylko co to jest ten "odpowiedni wzór"?
| | 1 | |
Próbowałam podstawić pod Sn = |
| *(a1+an)*n |
| | 2 | |
| | 1+n−1 | |
Wówczas dla a) mam n = ( |
| )*n |
| | 2 | |
zatem 2n=n
2, czyli n=2.
Podobnie próbowałam zrobić w podpunkcie b.
Poprawne odpowiedzi to jednak: a) n = 3, b) n = 31.
16 lut 11:34
Krzysiek60: Wiesz co kiedys chyba mialem cos podobnego do policzenia granicy jeskli chodzi o a )
Musisz zauwazyc ze
| | n(n+1) | |
1+2+3+4+........ (n−1)+n= |
| |
| | 2 | |
a ty masz 1+2+3+.........(n−1)
| | n(n+1) | |
wiec musisz od |
| odjac n |
| | 2 | |
i to bedzie twoja lewa strona
16 lut 11:40
aq: Okej, wydaje się logiczne. A jeśli chodzi o podpunkt b?
16 lut 11:44
Krzysiek60: Sprawdzilem w wolframie to wyszlo n=0 in=3 bierzemy n=3 i sie zgadza
16 lut 11:48
aq: No tak, tak. Dziękuję bardzo.
A podpunkt b? Jest chyba nieco inny, nie wiem jak się do niego zabrać. Jakieś pomysły?
16 lut 11:50
aq: W wolframie przekształcono lewą stronę do postaci (n−1)(n+1). Ktoś wie skąd to się wzięło?
16 lut 11:54
16 lut 11:59
aq: ?
16 lut 12:00
PW: Równanie a) jest banalne i nie trzeba znać żadnych wzorów.
Dla n=1, 2, 3 tak naprawdę nie wiadomo, co oznacza lewa strona. Trzeba by się jakoś umówić, co
oznaczają napisy
1+2+...+(1−1)
1+2+...+(2−1)
1+2+...+(3−1).
Dopiero począwszy od n=4 zapis ma sens:
− dodajemy kolejne liczby naturalne od 1 do (n−1) i przyrównujemy do liczby n.
Równanie takie nie ma rozwiązania, bo suma pierwszego i ostatniego wyrazu jest równa n, a
jeszcze po lewej stronie są inne składniki dodatnie.
16 lut 12:02
aq: Podpunkt a mam już zrobiony. Bardziej zależałoby mi na rozwiązaniu b.
16 lut 12:04
Krzysiek60: 1+3+5+7+...... (2n−1)= n2 to 3+5+7+....... (2n−1)= n2−1 = (n+1)(n−1)
Ale to do rozwiazania tego rownania nie jest potrzebne rozbijanie .
Wydaje sie ze od CIebie jest wymagana znajomosc takich podstawowych wzorow
16 lut 12:07
Jerzy:
@PW ... ma.
n = 3
L = 1 + 2 = 3 = P
16 lut 12:08
Jerzy:
@
małolat ... a co sie stało z : 2n
2 − 962 ?
16 lut 12:10
Krzysiek60: Ma byc + przed (2n−1)
16 lut 12:10
Krzysiek60: Tylko rozpisana lewa strona
rownanie n2−1= 2n2−962 to sobie kolezanka rozwiaze juz .
16 lut 12:12
Jerzy:
A skąd: 1 + 3 + 5 + 7 + ...(2n − 1) = n2 ?
16 lut 12:13
Krzysiek60: Niedawno go udowadnialem indukcyjnie
16 lut 12:15
Jerzy:
Tylko ,że rozwiazujący zadanie nie musi tego wiedzieć
16 lut 12:16
Krzysiek60: Na cale szczescie
Jerzy ja moge znac ale nie musze
16 lut 12:17
Jerzy:
I chyba ten wzór nie działa:
n = 5
1 + 3 + 5 + 9 = 18 ≠ 52
16 lut 12:17
Jerzy:
Oj.... "zjadłem" 7 ... działa
16 lut 12:18
Krzysiek60: Znam jeszce taki
| | n(n+1)(2n+1) | |
12+22+32+....... +n2= |
| |
| | 6 | |
16 lut 12:20
Jerzy:
Ten znałem
16 lut 12:20
Krzysiek60: Ale zostawiam to i wracam do swojego zadania
Co moglem to pomoglem .
16 lut 12:22
PW: Jerzy, ja tam nie jestem taki inteligentny, żeby napis
1+2+(3−1)
rozumieć jako 1+2. Tak twierdziło wielu moich uczniów (np. przy dowodzeniu twierdzeń za pomocą
zasady indukcji), i trudno im odmówić racji.
Dlatego piszę, że zadanie jest źle sformułowane, albo wymaga dodatkowego określenia słownego:
− Co oznacza napis
1+2+...+(n−1)?
16 lut 12:26
aq: Dzięki wielkie wszystkim!
16 lut 13:37
Adam0: 1+2+...+(n−1) oznacza zasadę
sumujemy od 1 do n−1
tu nie chodzi o to że masz podstawić za n np. dwójkę i się cieszyć że ci wyszło coś głupiego
16 lut 16:07