matematykaszkolna.pl
asd Dickens: wykazać, że dla funkcji f ciągłej i parzystej w przedzialej [a;−a], a>0 prawdziwa jest równość
 f(x) 
całka od −a do a

dx = calka od 0 do a f(x)dx
 1+ex 
15 lut 08:20
Adam0:
 f(x) F(x) F(x) 
−aa

dx=

|−aa+∫−aa

dx=
 1+ex 1+ex e−x+ex+2 
=F(a)−F(0)=∫0af(x)dx
 F(a) F(−a) 
bo


=F(a)
 1+ea 1+e−a 
 F(x) 
oraz ∫−aa

dx=0
 e−x+ex+2 
oraz F(0)=0
15 lut 09:23
Adam0: F(x) wybieramy tak żeby była nieparzysta, spośród wszystkich funkcji pierwotnych
15 lut 09:28
jc: f(−x)=f(x)
f(x) f(x) f(x) 1 1 

=

+

(


)
1+ex 2 2 1+ex 1+e−x 
Pierwszy składnik jest parzysty, drugi nieparzysty.
 1 
Całka =

aa f(x) dx = ∫0a f(x) dx
 2 
15 lut 09:39
Adam0: dlaczego możemy ją wybrać? F(x)=Fp(x)+Fn(x) Fp(−x)=Fp(x) Fn(−x)=−Fn(x) F(−x)=Fp(x)−Fn(x)
 F(x)+F(−x) F(x)−F(−x) 
Fp(x)=

, Fn(x)=

− jak widać różniczkowalne
 2 2 
 Fp(x+h)−Fp(x) 
limh→0

= fn(x)
 h 
 Fn(x+h)−Fn(x) 
limh→0

= fp(x)
 h 
f(x)=fp(x)+fn(x) ale każda funkcja na sumę parzystej i nieparzystej rozkłada się jednoznacznie, dlatego fn(x)=0 a co za tym idzie, Fp(x)=c, c=const.
15 lut 09:39
jc: Uwaga. f nie musi być ciągła, wystarczy, że jest całkowalna (nie musi istnieć funkcja pierwotna).
15 lut 09:42
Dickens: Dzieki emotka
15 lut 09:46