asd
Dickens: wykazać, że dla funkcji f ciągłej i parzystej w przedzialej [a;−a], a>0 prawdziwa jest równość
| f(x) | |
całka od −a do a |
| dx = calka od 0 do a f(x)dx |
| 1+ex | |
15 lut 08:20
Adam0:
| f(x) | | F(x) | | F(x) | |
∫−aa |
| dx= |
| |−aa+∫−aa |
| dx= |
| 1+ex | | 1+ex | | e−x+ex+2 | |
=F(a)−F(0)=∫
0af(x)dx
| F(a) | | F(−a) | |
bo |
| − |
| =F(a) |
| 1+ea | | 1+e−a | |
| F(x) | |
oraz ∫−aa |
| dx=0 |
| e−x+ex+2 | |
oraz F(0)=0
15 lut 09:23
Adam0: F(x) wybieramy tak żeby była nieparzysta, spośród wszystkich funkcji pierwotnych
15 lut 09:28
jc:
f(−x)=f(x)
f(x) | | f(x) | | f(x) | | 1 | | 1 | |
| = |
| + |
| ( |
| − |
| ) |
1+ex | | 2 | | 2 | | 1+ex | | 1+e−x | |
Pierwszy składnik jest parzysty, drugi nieparzysty.
| 1 | |
Całka = |
| ∫aa f(x) dx = ∫0a f(x) dx |
| 2 | |
15 lut 09:39
Adam0: dlaczego możemy ją wybrać?
F(x)=F
p(x)+F
n(x)
F
p(−x)=F
p(x)
F
n(−x)=−F
n(x)
F(−x)=F
p(x)−F
n(x)
| F(x)+F(−x) | | F(x)−F(−x) | |
Fp(x)= |
| , Fn(x)= |
| − jak widać różniczkowalne |
| 2 | | 2 | |
| Fp(x+h)−Fp(x) | |
limh→0 |
| = fn(x) |
| h | |
| Fn(x+h)−Fn(x) | |
limh→0 |
| = fp(x) |
| h | |
f(x)=f
p(x)+f
n(x)
ale każda funkcja na sumę parzystej i nieparzystej rozkłada się jednoznacznie, dlatego
f
n(x)=0 a co za tym idzie, F
p(x)=c, c=const.
15 lut 09:39
jc: Uwaga. f nie musi być ciągła, wystarczy, że jest całkowalna (nie musi istnieć funkcja
pierwotna).
15 lut 09:42
Dickens: Dzieki
15 lut 09:46